MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphtpy2d Structured version   Unicode version

Theorem isphtpy2d 20692
Description: Deduction for membership in the class of path homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy2d.1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
isphtpy2d.2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
isphtpy2d.3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
isphtpy2d.4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( F ` 
0 ) )
isphtpy2d.5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( F ` 
1 ) )
Assertion
Ref Expression
isphtpy2d  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Distinct variable groups:    F, s    G, s    H, s    J, s    ph, s

Proof of Theorem isphtpy2d
StepHypRef Expression
1 isphtpy.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 isphtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 iitopon 20588 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 isphtpy2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
6 isphtpy2d.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
7 isphtpy2d.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
84, 1, 2, 5, 6, 7ishtpyd 20680 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
9 isphtpy2d.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( F ` 
0 ) )
10 isphtpy2d.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( F ` 
1 ) )
111, 2, 8, 9, 10isphtpyd 20691 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   [,]cicc 11415  TopOnctopon 18632    Cn ccn 18961    tX ctx 19266   IIcii 20584   PHtpycphtpy 20673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cn 18964  df-ii 20586  df-htpy 20675  df-phtpy 20676
This theorem is referenced by:  reparphti  20702  pcohtpylem  20724  pcorevlem  20731  txsconlem  27274  cvxscon  27277  cvmliftphtlem  27351
  Copyright terms: Public domain W3C validator