MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphtpy2d Structured version   Unicode version

Theorem isphtpy2d 21612
Description: Deduction for membership in the class of path homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy2d.1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
isphtpy2d.2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
isphtpy2d.3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
isphtpy2d.4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( F ` 
0 ) )
isphtpy2d.5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( F ` 
1 ) )
Assertion
Ref Expression
isphtpy2d  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Distinct variable groups:    F, s    G, s    H, s    J, s    ph, s

Proof of Theorem isphtpy2d
StepHypRef Expression
1 isphtpy.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 isphtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 iitopon 21508 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 isphtpy2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
6 isphtpy2d.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
7 isphtpy2d.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
84, 1, 2, 5, 6, 7ishtpyd 21600 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
9 isphtpy2d.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( F ` 
0 ) )
10 isphtpy2d.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( F ` 
1 ) )
111, 2, 8, 9, 10isphtpyd 21611 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   [,]cicc 11557  TopOnctopon 19521    Cn ccn 19851    tX ctx 20186   IIcii 21504   PHtpycphtpy 21593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cn 19854  df-ii 21506  df-htpy 21595  df-phtpy 21596
This theorem is referenced by:  reparphti  21622  pcohtpylem  21644  pcorevlem  21651  txsconlem  28860  cvxscon  28863  cvmliftphtlem  28937
  Copyright terms: Public domain W3C validator