Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphtpy Structured version   Unicode version

Theorem isphtpy 20678
 Description: Membership in the class of path homotopies between two continuous functions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2
isphtpy.3
Assertion
Ref Expression
isphtpy Htpy
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem isphtpy
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.2 . . . . 5
2 cntop2 18970 . . . . 5
3 oveq2 6201 . . . . . . 7
4 oveq2 6201 . . . . . . . . 9 Htpy Htpy
54oveqd 6210 . . . . . . . 8 Htpy Htpy
6 rabeq 3065 . . . . . . . 8 Htpy Htpy Htpy Htpy
75, 6syl 16 . . . . . . 7 Htpy Htpy
83, 3, 7mpt2eq123dv 6250 . . . . . 6 Htpy Htpy
9 df-phtpy 20668 . . . . . 6 Htpy
10 ovex 6218 . . . . . . 7
1110, 10mpt2ex 6753 . . . . . 6 Htpy
128, 9, 11fvmpt 5876 . . . . 5 Htpy
131, 2, 123syl 20 . . . 4 Htpy
14 oveq12 6202 . . . . . 6 Htpy Htpy
15 simpl 457 . . . . . . . . . 10
1615fveq1d 5794 . . . . . . . . 9
1716eqeq2d 2465 . . . . . . . 8
1815fveq1d 5794 . . . . . . . . 9
1918eqeq2d 2465 . . . . . . . 8
2017, 19anbi12d 710 . . . . . . 7
2120ralbidv 2841 . . . . . 6
2214, 21rabeqbidv 3066 . . . . 5 Htpy Htpy
2322adantl 466 . . . 4 Htpy Htpy
24 isphtpy.3 . . . 4
25 ovex 6218 . . . . . 6 Htpy
2625rabex 4544 . . . . 5 Htpy
2726a1i 11 . . . 4 Htpy
2813, 23, 1, 24, 27ovmpt2d 6321 . . 3 Htpy
2928eleq2d 2521 . 2 Htpy
30 oveq 6199 . . . . . 6
3130eqeq1d 2453 . . . . 5
32 oveq 6199 . . . . . 6
3332eqeq1d 2453 . . . . 5
3431, 33anbi12d 710 . . . 4
3534ralbidv 2841 . . 3
3635elrab 3217 . 2 Htpy Htpy
3729, 36syl6bb 261 1 Htpy
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795  crab 2799  cvv 3071  cfv 5519  (class class class)co 6193   cmpt2 6195  cc0 9386  c1 9387  cicc 11407  ctop 18623   ccn 18953  cii 20576   Htpy chtpy 20664  cphtpy 20665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-map 7319  df-top 18628  df-topon 18631  df-cn 18956  df-phtpy 20668 This theorem is referenced by:  phtpyhtpy  20679  phtpyi  20681  isphtpyd  20683
 Copyright terms: Public domain W3C validator