Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphld Structured version   Unicode version

Theorem isphld 18985
 Description: Properties that determine a pre-Hilbert (inner product) space. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphld.v
isphld.a
isphld.s
isphld.i
isphld.z
isphld.f Scalar
isphld.k
isphld.p
isphld.t
isphld.c
isphld.o
isphld.l
isphld.r
isphld.cl
isphld.d
isphld.ns
isphld.cj
Assertion
Ref Expression
isphld
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem isphld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphld.l . 2
2 isphld.f . . 3 Scalar
3 isphld.r . . 3
42, 3eqeltrrd 2491 . 2 Scalar
5 oveq1 6284 . . . . . 6
65cbvmptv 4486 . . . . 5
7 isphld.cl . . . . . . . . . . . . . . 15
873expib 1200 . . . . . . . . . . . . . 14
9 isphld.v . . . . . . . . . . . . . . . 16
109eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15
119eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14
13 isphld.i . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 isphld.k . . . . . . . . . . . . . . . 16
162fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
1715, 16eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
1814, 17eleq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
198, 12, 183imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2019impl 618 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2120an32s 805 . . . . . . . . . . 11 Scalar
22 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12
2322cbvmptv 4486 . . . . . . . . . . 11
2421, 23fmptd 6032 . . . . . . . . . 10 Scalar
2524ralrimiva 2817 . . . . . . . . 9 Scalar
26 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . 12
2726mpteq2dv 4481 . . . . . . . . . . 11
2827feq1d 5699 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2928rspccva 3158 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3025, 29sylan 469 . . . . . . . 8 Scalar
31 eqidd 2403 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
32 isphld.d . . . . . . . . . . . . . . . 16
33323exp 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15
3417eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
35 3anrot 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
369eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736, 10, 113anbi123d 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3835, 37syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 isphld.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 isphld.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4339, 41, 42oveq123d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4513, 43, 44oveq123d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 isphld.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
472fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar
4846, 47eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
49 isphld.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
502fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Scalar
5149, 50eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar
52 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5313oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5451, 52, 53oveq123d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
5513oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5648, 54, 55oveq123d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
5745, 56eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
5838, 57imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
5933, 34, 583imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
6059imp31 430 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
61603exp2 1215 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
6261impancom 438 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
63623imp2 1212 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar
64 lveclmod 18070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
68 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69lss1 17903 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
72 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
73 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
74 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
75 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
7672, 73, 74, 75, 69lsscl 17907 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
7771, 76sylancom 665 . . . . . . . . . . 11 Scalar
78 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12
79 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
80 ovex 6305 . . . . . . . . . . . 12
8178, 79, 80fvmpt3i 5936 . . . . . . . . . . 11
8277, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 Scalar
83 simpr2 1004 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
84 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 79, 80fvmpt3i 5936 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
8786oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
88 simpr3 1005 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
89 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13
9089, 79, 80fvmpt3i 5936 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 Scalar
9287, 91oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
9363, 82, 923eqtr4d 2453 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
9493ralrimivvva 2825 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
9572lmodring 17838 . . . . . . . . . . 11 Scalar
96 rlmlmod 18169 . . . . . . . . . . 11 Scalar ringLModScalar
9765, 95, 963syl 20 . . . . . . . . . 10 ringLModScalar
9897adantr 463 . . . . . . . . 9 ringLModScalar
99 rlmbas 18159 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
100 fvex 5858 . . . . . . . . . . 11 Scalar
101 rlmsca 18164 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar ScalarringLModScalar
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Scalar ScalarringLModScalar
103 rlmplusg 18160 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
104 rlmvsca 18166 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
10568, 99, 72, 102, 73, 74, 103, 75, 104islmhm2 18002 . . . . . . . . 9 ringLModScalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
10666, 98, 105syl2anc 659 . . . . . . . 8 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
10730, 31, 94, 106mpbir3and 1180 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar
108107ralrimiva 2817 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar
109 oveq2 6285 . . . . . . . . 9
110109mpteq2dv 4481 . . . . . . . 8
111110eleq1d 2471 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
112111rspccva 3158 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
113108, 112sylan 469 . . . . 5 LMHom ringLModScalar
1146, 113syl5eqel 2494 . . . 4 LMHom ringLModScalar
115 isphld.ns . . . . . . 7
1161153exp 1196 . . . . . 6
11713oveqd 6294 . . . . . . . 8
118 isphld.o . . . . . . . . 9
1192fveq2d 5852 . . . . . . . . 9 Scalar
120118, 119eqtrd 2443 . . . . . . . 8 Scalar
121117, 120eqeq12d 2424 . . . . . . 7 Scalar
122 isphld.z . . . . . . . 8
123122eqeq2d 2416 . . . . . . 7
124121, 123imbi12d 318 . . . . . 6 Scalar
125116, 10, 1243imtr3d 267 . . . . 5 Scalar
126125imp 427 . . . 4 Scalar
127 isphld.cj . . . . . . . 8
1281273expib 1200 . . . . . . 7
129 isphld.c . . . . . . . . . 10
1302fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10 Scalar
131129, 130eqtrd 2443 . . . . . . . . 9 Scalar
132131, 14fveq12d 5854 . . . . . . . 8 Scalar
13313oveqd 6294 . . . . . . . 8
134132, 133eqeq12d 2424 . . . . . . 7 Scalar
135128, 12, 1343imtr3d 267 . . . . . 6 Scalar
136135expdimp 435 . . . . 5 Scalar
137136ralrimiv 2815 . . . 4 Scalar
138114, 126, 1373jca 1177 . . 3 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
139138ralrimiva 2817 . 2 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
140 eqid 2402 . . 3
141 eqid 2402 . . 3
142 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
143 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
14468, 72, 140, 141, 142, 143isphl 18959 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
1451, 4, 139, 144syl3anbrc 1181 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  cvv 3058   cmpt 4452  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839   cplusg 14907  cmulr 14908  cstv 14909  Scalarcsca 14910  cvsca 14911  cip 14912  c0g 15052  crg 17516  csr 17811  clmod 17830  clss 17896   LMHom clmhm 17983  clvec 18066  ringLModcrglmod 18133  cphl 18955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lmhm 17986  df-lvec 18067  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-phl 18957 This theorem is referenced by:  frlmphl  19106  hlhilphllem  34962
 Copyright terms: Public domain W3C validator