Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isphl 19195
 Description: The predicate "is a generalized pre-Hilbert (inner product) space". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphl.v
isphl.f Scalar
isphl.h
isphl.o
isphl.i
isphl.z
Assertion
Ref Expression
isphl LMHom ringLMod
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem isphl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5875 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fvex 5875 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 fvex 5875 . . . . . . 7 Scalar
65a1i 11 . . . . . 6 Scalar
7 id 22 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
8 simpll 760 . . . . . . . . . . 11
98fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
10 isphl.f . . . . . . . . . 10 Scalar
119, 10syl6eqr 2503 . . . . . . . . 9 Scalar
127, 11sylan9eqr 2507 . . . . . . . 8 Scalar
1312eleq1d 2513 . . . . . . 7 Scalar
14 simpllr 769 . . . . . . . . 9 Scalar
15 simplll 768 . . . . . . . . . . 11 Scalar
1615fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 Scalar
17 isphl.v . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6eqr 2503 . . . . . . . . 9 Scalar
1914, 18eqtrd 2485 . . . . . . . 8 Scalar
20 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2115fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
22 isphl.h . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2420, 23eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2524oveqd 6307 . . . . . . . . . . 11 Scalar
2619, 25mpteq12dv 4481 . . . . . . . . . 10 Scalar
2712fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 Scalar ringLMod ringLMod
2815, 27oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
2926, 28eleq12d 2523 . . . . . . . . 9 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
3024oveqd 6307 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3112fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
32 isphl.z . . . . . . . . . . . 12
3331, 32syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3430, 33eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10 Scalar
3515fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
36 isphl.o . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3837eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10 Scalar
3934, 38imbi12d 322 . . . . . . . . 9 Scalar
4012fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
41 isphl.i . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4324oveqd 6307 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4442, 43fveq12d 5871 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4544, 25eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10 Scalar
4619, 45raleqbidv 3001 . . . . . . . . 9 Scalar
4729, 39, 463anbi123d 1339 . . . . . . . 8 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
4819, 47raleqbidv 3001 . . . . . . 7 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
4913, 48anbi12d 717 . . . . . 6 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
506, 49sbcied 3304 . . . . 5 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
514, 50sbcied 3304 . . . 4 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
522, 51sbcied 3304 . . 3 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
53 df-phl 19193 . . 3 Scalar LMHom ringLMod
5452, 53elrab2 3198 . 2 LMHom ringLMod
55 3anass 989 . 2 LMHom ringLMod LMHom ringLMod
5654, 55bitr4i 256 1 LMHom ringLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045  wsbc 3267   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121  cstv 15192  Scalarcsca 15193  cip 15195  c0g 15338  csr 18072   LMHom clmhm 18242  clvec 18325  ringLModcrglmod 18392  cphl 19191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-iota 5546  df-fv 5590  df-ov 6293  df-phl 19193 This theorem is referenced by:  phllvec  19196  phlsrng  19198  phllmhm  19199  ipcj  19201  ipeq0  19205  isphld  19221  phlpropd  19222
 Copyright terms: Public domain W3C validator