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Theorem isphg 24217
Description: The predicate "is a complex inner product space." An inner product space is a normed vector space whose norm satisfies the parallelogram law. The vector (group) addition operation is  G, the scalar product is  S, and the norm is  N. An inner product space is also called a pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isphg.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isphg  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, N, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem isphg
Dummy variables  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ph 24213 . . 3  |-  CPreHil OLD  =  ( NrmCVec  i^i  { <. <. g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `
 x ) ^
2 )  +  ( ( n `  y
) ^ 2 ) ) ) } )
21elin2 3541 . 2  |-  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <.
g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } ) )
3 rneq 5065 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
4 isphg.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
53, 4syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
6 oveq 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
76fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g y ) )  =  ( n `  ( x G y ) ) )
87oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
9 oveq 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1
s y ) ) )
109fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) )
1110oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )
128, 11oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( n `
 ( x g y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
145, 13raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
155, 14raleqbidv 2931 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 oveq 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( -u 1 s y )  =  ( -u 1 S y ) )
1716oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
x G ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1 S y ) ) )
1817fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1918oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2120eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
22212ralbidv 2757 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
23 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G y ) )  =  ( N `  ( x G y ) ) )
2423oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
25 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
2625oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 26oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
28 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  x )  =  ( N `  x ) )
2928oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  x
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 x ) ^
2 ) )
30 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  y )  =  ( N `  y ) )
3130oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  y
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 y ) ^
2 ) )
3229, 31oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3427, 33eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
35342ralbidv 2757 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
3615, 22, 35eloprabg 6178 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) )
3736anbi2d 703 . 2  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } )  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
382, 37syl5bb 257 1  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   <.cop 3883   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   {coprab 6092   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   -ucneg 9596   2c2 10371   ^cexp 11865   NrmCVeccnv 23962   CPreHil OLDccphlo 24212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-cnv 4848  df-dm 4850  df-rn 4851  df-iota 5381  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-ph 24213
This theorem is referenced by:  cncph  24219  isph  24222  phpar  24224  hhph  24580
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