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Theorem isph 26448
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isph.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
isph.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
isph.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
isph  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, M, y    x, N, y    x, U, y   
x, X, y

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 26440 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 isph.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 isph.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
52, 3, 4nvop 26291 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U ) >. ,  N >. )
6 eleq1 2494 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  <. <. G ,  ( .sOLD `  U )
>. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD ) )
7 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  e. 
_V
82, 7eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9 fvex 5887 . . . . . . 7  |-  ( .sOLD `  U )  e.  _V
10 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  e.  _V
114, 10eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
12 isph.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1312, 2bafval 26208 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
1413isphg 26443 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( .sOLD `  U
)  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
158, 9, 11, 14mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( <. <. G ,  ( .sOLD `  U )
>. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  M  =  ( -v `  U
)
1712, 2, 3, 16nvmval 26248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  =  ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) )
18173expa 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x M y )  =  ( x G (
-u 1 ( .sOLD `  U ) y ) ) )
1918fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( N `  ( x M y ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1
( .sOLD `  U ) y ) ) ) )
2019oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G (
-u 1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )
2120oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2221eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2322ralbidva 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2423ralbidva 2861 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
2524pm5.32i 641 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
26 eleq1 2494 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  NrmCVec  <->  <. <. G , 
( .sOLD `  U ) >. ,  N >.  e.  NrmCVec ) )
2726anbi1d 709 . . . . . . 7  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( <. <. G , 
( .sOLD `  U ) >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2825, 27syl5rbb 261 . . . . . 6  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( <. <. G , 
( .sOLD `  U ) >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) )  <-> 
( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2915, 28syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
306, 29bitrd 256 . . . 4  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .sOLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 30syl 17 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
3231bianabs 888 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
331, 32biadan2 646 1  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   <.cop 4002   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   -ucneg 9861   2c2 10659   ^cexp 12271   NrmCVeccnv 26188   +vcpv 26189   BaseSetcba 26190   .sOLDcns 26191   -vcnsb 26193   normCVcnmcv 26194   CPreHil OLDccphlo 26438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ph 26439
This theorem is referenced by:  phpar2  26449  sspph  26481
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