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Theorem ispautN 34062
Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
ispautN  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, K    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    K( y)    M( x, y)

Proof of Theorem ispautN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pautset.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
2 pautset.m . . . 4  |-  M  =  ( PAut `  K
)
31, 2pautsetN 34061 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
43eleq2d 2522 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } ) )
5 f1of 5744 . . . . 5  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F : S
--> S )
6 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2536 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
8 fex 6054 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> S  /\  S  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F  e.  _V )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )  ->  F  e.  _V )
11 f1oeq1 5735 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : S -1-1-onto-> S  <->  F : S
-1-1-onto-> S ) )
12 fveq1 5793 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5793 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  C_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
1514bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) )  <->  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
16152ralbidv 2873 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
1711, 16anbi12d 710 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
1810, 17elab3 3214 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
194, 18syl6bb 261 1  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2437   A.wral 2796   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   -->wf 5517   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   PSubSpcpsubsp 33459   PAutcpautN 33950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-map 7321  df-pautN 33954
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