Theorem isowe 4880

Description: An isomorphism preserves well ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isowe	|- (H Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))

Proof of Theorem isowe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofr 4879	. . 3 |- (H Isom R, S (A, B) -> (R Fr A <-> S Fr B))
2		isorel 4871	. . . . . 6 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
3		f1fveq 4852	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1->B /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x) = (H` y) <-> x = y))
4		isof1o 4870	. . . . . . . . 9 |- (H Isom R, S (A, B) -> H:A-1-1-onto->B)
5		f1of1 4634	. . . . . . . . 9 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-1-1->B)
6	4, 5	syl 12	. . . . . . . 8 |- (H Isom R, S (A, B) -> H:A-1-1->B)
7	3, 6	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x) = (H` y) <-> x = y))
8	7	bicomd 580	. . . . . 6 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (x = y <-> (H` x) = (H` y)))
9		isorel 4871	. . . . . . 7 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (y e. A /\ x e. A)) -> (yRx <-> (H` y)S(H` x)))
10	9	ancom2s 545	. . . . . 6 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (yRx <-> (H` y)S(H` x)))
11	2, 8, 10	3orbi123d 1167	. . . . 5 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((xRy \/ x = y \/ yRx) <-> ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x))))
12	11	2ralbidva 2138	. . . 4 |- (H Isom R, S (A, B) -> (A.x e. A A.y e. A (xRy \/ x = y \/ yRx) <-> A.x e. A A.y e. A ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x))))
13		f1ofo 4643	. . . . 5 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-onto->B)
14		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- ((H` y) = w -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` x)Sw))
15		eqeq2 1893	. . . . . . . . 9 |- ((H` y) = w -> ((H` x) = (H` y) <-> (H` x) = w))
16		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- ((H` y) = w -> ((H` y)S(H` x) <-> wS(H` x)))
17	14, 15, 16	3orbi123d 1167	. . . . . . . 8 |- ((H` y) = w -> (((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x)) <-> ((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x))))
18	17	cbvfo 4861	. . . . . . 7 |- (H:A-onto->B -> (A.y e. A ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x)) <-> A.w e. B ((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x))))
19	18	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (H:A-onto->B -> (A.x e. A A.y e. A ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x)) <-> A.x e. A A.w e. B ((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x))))
20		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- ((H` x) = z -> ((H` x)Sw <-> zSw))
21		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- ((H` x) = z -> ((H` x) = w <-> z = w))
22		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- ((H` x) = z -> (wS(H` x) <-> wSz))
23	20, 21, 22	3orbi123d 1167	. . . . . . . 8 |- ((H` x) = z -> (((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x)) <-> (zSw \/ z = w \/ wSz)))
24	23	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- ((H` x) = z -> (A.w e. B ((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x)) <-> A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
25	24	cbvfo 4861	. . . . . 6 |- (H:A-onto->B -> (A.x e. A A.w e. B ((H` x)Sw \/ (H` x) = w \/ wS(H` x)) <-> A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
26	19, 25	bitrd 587	. . . . 5 |- (H:A-onto->B -> (A.x e. A A.y e. A ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x)) <-> A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
27	4, 13, 26	3syl 24	. . . 4 |- (H Isom R, S (A, B) -> (A.x e. A A.y e. A ((H` x)S(H` y) \/ (H` x) = (H` y) \/ (H` y)S(H` x)) <-> A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
28	12, 27	bitrd 587	. . 3 |- (H Isom R, S (A, B) -> (A.x e. A A.y e. A (xRy \/ x = y \/ yRx) <-> A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
29	1, 28	anbi12d 690	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) -> ((R Fr A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy \/ x = y \/ yRx)) <-> (S Fr B /\ A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz))))
30		dfwe2 3861	. 2 |- (R We A <-> (R Fr A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy \/ x = y \/ yRx)))
31		dfwe2 3861	. 2 |- (S We B <-> (S Fr B /\ A.z e. B A.w e. B (zSw \/ z = w \/ wSz)))
32	29, 30, 31	3bitr4g 614	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338   Fr wfr 3623   We wwe 3624  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998   Isom wiso 3999

This theorem is referenced by:  f1owe 4882  hartog 5693  hartogOLD 15384  ltfrn 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain