Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoval Structured version   Unicode version

Theorem isoval 15614
 Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
isoval.n
Assertion
Ref Expression
isoval

Proof of Theorem isoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invfval.c . . . . 5
2 isofval 15606 . . . . 5 Inv
31, 2syl 17 . . . 4 Inv
4 isoval.n . . . 4
5 invfval.n . . . . 5 Inv
65coeq2i 5006 . . . 4 Inv
73, 4, 63eqtr4g 2486 . . 3
87oveqd 6313 . 2
9 eqid 2420 . . . . . 6 Sect Sect Sect Sect
10 ovex 6324 . . . . . . 7 Sect
1110inex1 4557 . . . . . 6 Sect Sect
129, 11fnmpt2i 6867 . . . . 5 Sect Sect
13 invfval.b . . . . . . 7
14 invfval.x . . . . . . 7
15 invfval.y . . . . . . 7
16 eqid 2420 . . . . . . 7 Sect Sect
1713, 5, 1, 14, 15, 16invffval 15607 . . . . . 6 Sect Sect
1817fneq1d 5675 . . . . 5 Sect Sect
1912, 18mpbiri 236 . . . 4
20 opelxpi 4877 . . . . 5
2114, 15, 20syl2anc 665 . . . 4
22 fvco2 5947 . . . 4
2319, 21, 22syl2anc 665 . . 3
24 df-ov 6299 . . 3
25 ovex 6324 . . . . 5
26 dmeq 5046 . . . . . 6
27 eqid 2420 . . . . . 6
2825dmex 6731 . . . . . 6
2926, 27, 28fvmpt 5955 . . . . 5
3025, 29ax-mp 5 . . . 4
31 df-ov 6299 . . . . 5
3231fveq2i 5875 . . . 4
3330, 32eqtr3i 2451 . . 3
3423, 24, 333eqtr4g 2486 . 2
358, 34eqtrd 2461 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1867  cvv 3078   cin 3432  cop 3999   cmpt 4475   cxp 4843  ccnv 4844   cdm 4845   ccom 4849   wfn 5587  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cbs 15073  ccat 15514  Sectcsect 15593  Invcinv 15594   ciso 15595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-inv 15597  df-iso 15598 This theorem is referenced by:  inviso1  15615  invf  15617  invco  15620  dfiso2  15621  isohom  15625  oppciso  15630  cicsym  15653  funciso  15723  ffthiso  15778  fuciso  15824  setciso  15930  catciso  15946  rngciso  38755  rngcisoALTV  38767  ringciso  38806  ringcisoALTV  38830
 Copyright terms: Public domain W3C validator