Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoval Structured version   Unicode version

Theorem isoval 15020
 Description: The inverse relation is a function, which is to say that every morphism has at most one inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
isoval.n
Assertion
Ref Expression
isoval

Proof of Theorem isoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isoval.n . . . 4
2 invfval.c . . . . 5
3 fveq2 5866 . . . . . . . 8 Inv Inv
4 invfval.n . . . . . . . 8 Inv
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . 7 Inv
65coeq2d 5165 . . . . . 6 Inv
7 df-iso 15005 . . . . . 6 Inv
8 funmpt 5624 . . . . . . 7
9 fvex 5876 . . . . . . . 8 Inv
104, 9eqeltri 2551 . . . . . . 7
11 cofunexg 6748 . . . . . . 7
128, 10, 11mp2an 672 . . . . . 6
136, 7, 12fvmpt 5950 . . . . 5
142, 13syl 16 . . . 4
151, 14syl5eq 2520 . . 3
1615oveqd 6301 . 2
17 eqid 2467 . . . . . 6 Sect Sect Sect Sect
18 ovex 6309 . . . . . . 7 Sect
1918inex1 4588 . . . . . 6 Sect Sect
2017, 19fnmpt2i 6853 . . . . 5 Sect Sect
21 invfval.b . . . . . . 7
22 invfval.x . . . . . . 7
23 invfval.y . . . . . . 7
24 eqid 2467 . . . . . . 7 Sect Sect
2521, 4, 2, 22, 23, 24invffval 15013 . . . . . 6 Sect Sect
2625fneq1d 5671 . . . . 5 Sect Sect
2720, 26mpbiri 233 . . . 4
28 opelxpi 5031 . . . . 5
2922, 23, 28syl2anc 661 . . . 4
30 fvco2 5942 . . . 4
3127, 29, 30syl2anc 661 . . 3
32 df-ov 6287 . . 3
33 ovex 6309 . . . . 5
34 dmeq 5203 . . . . . 6
35 eqid 2467 . . . . . 6
3633dmex 6717 . . . . . 6
3734, 35, 36fvmpt 5950 . . . . 5
3833, 37ax-mp 5 . . . 4
39 df-ov 6287 . . . . 5
4039fveq2i 5869 . . . 4
4138, 40eqtr3i 2498 . . 3
4231, 32, 413eqtr4g 2533 . 2
4316, 42eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   cin 3475  cop 4033   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998   cdm 4999   ccom 5003   wfun 5582   wfn 5583  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  cbs 14490  ccat 14919  Sectcsect 15000  Invcinv 15001   ciso 15002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-inv 15004  df-iso 15005 This theorem is referenced by:  inviso1  15021  invf  15023  invco  15026  isohom  15027  oppciso  15032  funciso  15101  ffthiso  15156  fuciso  15202  setciso  15276  catciso  15292
 Copyright terms: Public domain W3C validator