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Theorem isoun 28294
Description: Infer an isomorphism from a union of two isomorphisms. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isoun.1  |-  ( ph  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
isoun.2  |-  ( ph  ->  G  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
isoun.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  C
)  ->  x R
y )
isoun.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B  /\  w  e.  D
)  ->  z S w )
isoun.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  e.  A
)  ->  -.  x R y )
isoun.6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  w  e.  B
)  ->  -.  z S w )
isoun.7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
isoun.8  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
isoun  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
)  Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C ) ,  ( B  u.  D
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, w, y, z, B    x, C, y   
w, D, x, y, z    w, G, x, y, z    w, H, x, y, z    x, R, y    w, S, x, y, z    ph, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( z, w)    C( z, w)    R( z, w)

Proof of Theorem isoun
StepHypRef Expression
1 isoun.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 isof1o 6221 . . . 4  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A -1-1-onto-> B )
4 isoun.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
5 isof1o 6221 . . . 4  |-  ( G 
Isom  R ,  S  ( C ,  D )  ->  G : C -1-1-onto-> D
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G : C -1-1-onto-> D )
7 isoun.7 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
8 isoun.8 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
9 f1oun 5838 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  G : C -1-1-onto-> D )  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  ( H  u.  G ) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D ) )
103, 6, 7, 8, 9syl22anc 1270 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D ) )
11 elun 3576 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  C )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  C ) )
12 elun 3576 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  u.  C )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )
13 isorel 6222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
141, 13sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
15 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  Fn  A )
18 f1ofn 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : C -1-1-onto-> D  ->  G  Fn  C )
196, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Fn  C )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  G  Fn  C )
217anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  x  e.  A ) )
22 fvun1 5941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( H  u.  G
) `  x )  =  ( H `  x ) )
2423adantrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
2516adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  H  Fn  A )
2619adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G  Fn  C )
277anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  y  e.  A ) )
28 fvun1 5941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( H  u.  G
) `  y )  =  ( H `  y ) )
3029adantrl 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
3124, 30breq12d 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
3214, 31bitr4d 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
3332anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
34 isoun.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  C
)  ->  x R
y )
35343expb 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  ->  x R y )
36 isoun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B  /\  w  e.  D
)  ->  z S w )
37363expia 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
w  e.  D  -> 
z S w ) )
3837ralrimiv 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A. w  e.  D  z S w )
3938ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w )
41 f1of 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
4342ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  B )
4443adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( H `  x
)  e.  B )
45 f1of 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : C -1-1-onto-> D  ->  G : C
--> D )
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : C --> D )
4746ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  ( G `  y )  e.  D )
4847adantrl 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( G `  y
)  e.  D )
49 breq1 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
z S w  <->  ( H `  x ) S w ) )
50 breq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( G `  y )  ->  (
( H `  x
) S w  <->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5149, 50rspc2v 3161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
)  e.  B  /\  ( G `  y )  e.  D )  -> 
( A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w  ->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5244, 48, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w  ->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5340, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( H `  x
) S ( G `
 y ) )
5423adantrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
5516adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  H  Fn  A )
5619adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  G  Fn  C )
577anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  y  e.  C ) )
58 fvun2 5942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( H  u.  G
) `  y )  =  ( G `  y ) )
6059adantrl 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
6153, 54, 603brtr4d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) )
6235, 612thd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
6362anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  C )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6433, 63jaodan 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6512, 64sylan2b 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6665ex 436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
67 isoun.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  e.  A
)  ->  -.  x R y )
68673expb 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  x R y )
69 isoun.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  w  e.  B
)  ->  -.  z S w )
70693expia 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
w  e.  B  ->  -.  z S w ) )
7170ralrimiv 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  A. w  e.  B  -.  z S w )
7271ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w )
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w )
7446ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G `  x )  e.  D )
7574adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  D )
7642ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y )  e.  B )
7776adantrl 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( H `  y
)  e.  B )
78 breq1 4408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  (
z S w  <->  ( G `  x ) S w ) )
7978notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  ( -.  z S w  <->  -.  ( G `  x ) S w ) )
80 breq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( G `  x
) S w  <->  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8180notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( -.  ( G `  x
) S w  <->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8279, 81rspc2v 3161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  D  /\  ( H `  y )  e.  B )  -> 
( A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w  ->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8375, 77, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w  ->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8473, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( G `  x
) S ( H `
 y ) )
8516adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  H  Fn  A )
8619adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G  Fn  C )
877anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  x  e.  C ) )
88 fvun2 5942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  x  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
8985, 86, 87, 88syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( H  u.  G
) `  x )  =  ( G `  x ) )
9089adantrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
9129adantrl 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
9290, 91breq12d 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
9384, 92mtbird 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) )
9468, 932falsed 353 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
9594anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
96 isorel 6222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Isom  R ,  S  ( C ,  D )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( G `  x ) S ( G `  y ) ) )
974, 96sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( G `  x
) S ( G `
 y ) ) )
9889adantrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
9959adantrl 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
10098, 99breq12d 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( G `  x ) S ( G `  y ) ) )
10197, 100bitr4d 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
102101anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  C )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
10395, 102jaodan 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
10412, 103sylan2b 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
105104ex 436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
10666, 105jaodan 795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  C ) )  -> 
( y  e.  ( A  u.  C )  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) ) )
10711, 106sylan2b 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
108107ralrimiv 2802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  A. y  e.  ( A  u.  C
) ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
109108ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  u.  C ) A. y  e.  ( A  u.  C ) ( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
110 df-isom 5594 . 2  |-  ( ( H  u.  G ) 
Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C
) ,  ( B  u.  D ) )  <-> 
( ( H  u.  G ) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D )  /\  A. x  e.  ( A  u.  C
) A. y  e.  ( A  u.  C
) ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) ) )
11110, 109, 110sylanbrc 671 1  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
)  Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C ) ,  ( B  u.  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739    u. cun 3404    i^i cin 3405   (/)c0 3733   class class class wbr 4405    Fn wfn 5580   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585    Isom wiso 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594
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