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Theorem isoun 27845
Description: Infer an isomorphism from a union of two isomorphisms. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isoun.1  |-  ( ph  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
isoun.2  |-  ( ph  ->  G  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
isoun.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  C
)  ->  x R
y )
isoun.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B  /\  w  e.  D
)  ->  z S w )
isoun.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  e.  A
)  ->  -.  x R y )
isoun.6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  w  e.  B
)  ->  -.  z S w )
isoun.7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
isoun.8  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
isoun  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
)  Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C ) ,  ( B  u.  D
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, w, y, z, B    x, C, y   
w, D, x, y, z    w, G, x, y, z    w, H, x, y, z    x, R, y    w, S, x, y, z    ph, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( z, w)    C( z, w)    R( z, w)

Proof of Theorem isoun
StepHypRef Expression
1 isoun.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 isof1o 6158 . . . 4  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A -1-1-onto-> B )
4 isoun.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
5 isof1o 6158 . . . 4  |-  ( G 
Isom  R ,  S  ( C ,  D )  ->  G : C -1-1-onto-> D
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G : C -1-1-onto-> D )
7 isoun.7 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
8 isoun.8 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  D
)  =  (/) )
9 f1oun 5772 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  G : C -1-1-onto-> D )  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  ( H  u.  G ) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D ) )
103, 6, 7, 8, 9syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D ) )
11 elun 3581 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  C )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  C ) )
12 elun 3581 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  u.  C )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )
13 isorel 6159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
141, 13sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
15 f1ofn 5754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
1716adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  Fn  A )
18 f1ofn 5754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : C -1-1-onto-> D  ->  G  Fn  C )
196, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Fn  C )
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  G  Fn  C )
217anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  x  e.  A ) )
22 fvun1 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( H  u.  G
) `  x )  =  ( H `  x ) )
2423adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
2516adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  H  Fn  A )
2619adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G  Fn  C )
277anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  y  e.  A ) )
28 fvun1 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( H  u.  G
) `  y )  =  ( H `  y ) )
3029adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
3124, 30breq12d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
3214, 31bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
3332anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
34 isoun.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  C
)  ->  x R
y )
35343expb 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  ->  x R y )
36 isoun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B  /\  w  e.  D
)  ->  z S w )
37363expia 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
w  e.  D  -> 
z S w ) )
3837ralrimiv 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A. w  e.  D  z S w )
3938ralrimiva 2815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w )
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w )
41 f1of 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
4342ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  B )
4443adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( H `  x
)  e.  B )
45 f1of 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : C -1-1-onto-> D  ->  G : C
--> D )
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : C --> D )
4746ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  ( G `  y )  e.  D )
4847adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( G `  y
)  e.  D )
49 breq1 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
z S w  <->  ( H `  x ) S w ) )
50 breq2 4396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( G `  y )  ->  (
( H `  x
) S w  <->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5149, 50rspc2v 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
)  e.  B  /\  ( G `  y )  e.  D )  -> 
( A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w  ->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5244, 48, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( A. z  e.  B  A. w  e.  D  z S w  ->  ( H `  x ) S ( G `  y ) ) )
5340, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( H `  x
) S ( G `
 y ) )
5423adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( H `
 x ) )
5516adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  H  Fn  A )
5619adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  G  Fn  C )
577anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  y  e.  C ) )
58 fvun2 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( H  u.  G
) `  y )  =  ( G `  y ) )
6059adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
6153, 54, 603brtr4d 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) )
6235, 612thd 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
6362anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  C )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6433, 63jaodan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6512, 64sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
6665ex 432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
67 isoun.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  e.  A
)  ->  -.  x R y )
68673expb 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  x R y )
69 isoun.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  w  e.  B
)  ->  -.  z S w )
70693expia 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
w  e.  B  ->  -.  z S w ) )
7170ralrimiv 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  A. w  e.  B  -.  z S w )
7271ralrimiva 2815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w )
7372adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w )
7446ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G `  x )  e.  D )
7574adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  D )
7642ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y )  e.  B )
7776adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( H `  y
)  e.  B )
78 breq1 4395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  (
z S w  <->  ( G `  x ) S w ) )
7978notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  ( -.  z S w  <->  -.  ( G `  x ) S w ) )
80 breq2 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( G `  x
) S w  <->  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8180notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( -.  ( G `  x
) S w  <->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8279, 81rspc2v 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  D  /\  ( H `  y )  e.  B )  -> 
( A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w  ->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8375, 77, 82syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A. z  e.  D  A. w  e.  B  -.  z S w  ->  -.  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
8473, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( G `  x
) S ( H `
 y ) )
8516adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  H  Fn  A )
8619adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G  Fn  C )
877anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  x  e.  C ) )
88 fvun2 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  Fn  A  /\  G  Fn  C  /\  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  x  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
8985, 86, 87, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( H  u.  G
) `  x )  =  ( G `  x ) )
9089adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
9129adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( H `
 y ) )
9290, 91breq12d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( G `  x ) S ( H `  y ) ) )
9384, 92mtbird 299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) )
9468, 932falsed 349 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
9594anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
96 isorel 6159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Isom  R ,  S  ( C ,  D )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( G `  x ) S ( G `  y ) ) )
974, 96sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( G `  x
) S ( G `
 y ) ) )
9889adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  x
)  =  ( G `
 x ) )
9959adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( H  u.  G ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
10098, 99breq12d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )  <->  ( G `  x ) S ( G `  y ) ) )
10197, 100bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
102101anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  C )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
10395, 102jaodan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  C )
)  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
10412, 103sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
105104ex 432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
10666, 105jaodan 784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  C ) )  -> 
( y  e.  ( A  u.  C )  ->  ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) ) )
10711, 106sylan2b 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  (
y  e.  ( A  u.  C )  -> 
( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) ) )
108107ralrimiv 2813 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  A. y  e.  ( A  u.  C
) ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) )
109108ralrimiva 2815 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  u.  C ) A. y  e.  ( A  u.  C ) ( x R y  <-> 
( ( H  u.  G ) `  x
) S ( ( H  u.  G ) `
 y ) ) )
110 df-isom 5532 . 2  |-  ( ( H  u.  G ) 
Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C
) ,  ( B  u.  D ) )  <-> 
( ( H  u.  G ) : ( A  u.  C ) -1-1-onto-> ( B  u.  D )  /\  A. x  e.  ( A  u.  C
) A. y  e.  ( A  u.  C
) ( x R y  <->  ( ( H  u.  G ) `  x ) S ( ( H  u.  G
) `  y )
) ) )
11110, 109, 110sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  ( H  u.  G
)  Isom  R ,  S  ( ( A  u.  C ) ,  ( B  u.  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751    u. cun 3409    i^i cin 3410   (/)c0 3735   class class class wbr 4392    Fn wfn 5518   -->wf 5519   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523    Isom wiso 5524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532
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