Theorem isotr 4874

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Proof of Theorem isotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . . . 6 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> G:B-1-1-onto->C)
2		simpl 346	. . . . . 6 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> H:A-1-1-onto->B)
3	1, 2	anim12i 360	. . . . 5 |- (((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) /\ (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
4	3	ancoms 484	. . . 4 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
5		f1oco 4661	. . . 4 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
6	4, 5	syl 12	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
7		f1of 4635	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-->B)
8		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ x e. A) -> (H` x) e. B)
9	8	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (x e. A -> (H` x) e. B))
10		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ y e. A) -> (H` y) e. B)
11	10	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (y e. A -> (H` y) e. B))
12	9, 11	anim12d 617	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
13	7, 12	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (H:A-1-1-onto->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
14	13	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
15		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (H` x) -> (vSu <-> (H` x)Su))
16		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = (H` x) -> (G` v) = (G` (H` x)))
17	16	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (H` x) -> ((G` v)T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` u)))
18	15, 17	bibi12d 691	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (H` x) -> ((vSu <-> (G` v)T(G` u)) <-> ((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u))))
19		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = (H` y) -> ((H` x)Su <-> (H` x)S(H` y)))
20		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = (H` y) -> (G` u) = (G` (H` y)))
21	20	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = (H` y) -> ((G` (H` x))T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
22	19, 21	bibi12d 691	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = (H` y) -> (((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u)) <-> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
23	18, 22	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . 11 |- (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> (A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
24	23	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
25	24	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
26	14, 25	sylan9 517	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
27	26	imp 377	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
28		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> (zRw <-> xRw))
29		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = x -> (H` z) = (H` x))
30	29	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> ((H` z)S(H` w) <-> (H` x)S(H` w)))
31	28, 30	bibi12d 691	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) <-> (xRw <-> (H` x)S(H` w))))
32		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> (xRw <-> xRy))
33		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (H` w) = (H` y))
34	33	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> ((H` x)S(H` w) <-> (H` x)S(H` y)))
35	32, 34	bibi12d 691	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> ((xRw <-> (H` x)S(H` w)) <-> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36	31, 35	rcla42v 2384	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
37	36	impcom 378	. . . . . . . . 9 |- ((A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
38	37	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
39	38	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
40		fvco3 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ H:A-->B /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
41	40	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
42		fvco3 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ H:A-->B /\ y e. A) -> ((G o. H)` y) = (G` (H` y)))
43	42	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ y e. A) -> ((G o. H)` y) = (G` (H` y)))
44	41, 43	breqan12d 3354	. . . . . . . . . 10 |- ((((Fun G /\ H:A-->B) /\ x e. A) /\ ((Fun G /\ H:A-->B) /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
45	44	anandis 570	. . . . . . . . 9 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
46		f1ofun 4637	. . . . . . . . . 10 |- (G:B-1-1-onto->C -> Fun G)
47	46, 7	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) -> (Fun G /\ H:A-->B))
48	45, 47	sylan 497	. . . . . . . 8 |- (((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
49	48, 4	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
50	27, 39, 49	3bitr4d 609	. . . . . 6 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y)))
51	50	exp32 408	. . . . 5 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (x e. A -> (y e. A -> (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y)))))
52	51	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (x e. A -> A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y))))
53	52	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y)))
54	6, 53	jca 310	. 2 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> ((G o. H):A-1-1-onto->C /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y))))
55		df-iso 4015	. . 3 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
56		df-iso 4015	. . 3 |- (G Isom S, T (B, C) <-> (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))))
57	55, 56	anbi12i 540	. 2 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) <-> ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))))
58		df-iso 4015	. 2 |- ((G o. H) Isom R, T (A, C) <-> ((G o. H):A-1-1-onto->C /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((G o. H)` x)T((G o. H)` y))))
59	54, 57, 58	3imtr4i 236	1 |- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998   Isom wiso 3999

This theorem is referenced by:  ordtype 5691  ordtypeOLD 15382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain