Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isotr 6245
 Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr

Proof of Theorem isotr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . . . 4
2 simpl 464 . . . 4
3 f1oco 5850 . . . 4
41, 2, 3syl2anr 486 . . 3
5 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12
65ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
7 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
86, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
9 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
106, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
11 simplrr 779 . . . . . . . . . 10
12 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
1413breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
1512, 14bibi12d 328 . . . . . . . . . . 11
16 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
1817breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18bibi12d 328 . . . . . . . . . . 11
2015, 19rspc2va 3148 . . . . . . . . . 10
218, 10, 11, 20syl21anc 1291 . . . . . . . . 9
22 fvco3 5957 . . . . . . . . . . 11
236, 7, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
24 fvco3 5957 . . . . . . . . . . 11
256, 9, 24syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
2623, 25breq12d 4408 . . . . . . . . 9
2721, 26bitr4d 264 . . . . . . . 8
2827bibi2d 325 . . . . . . 7
29282ralbidva 2831 . . . . . 6
3029biimpd 212 . . . . 5
3130impancom 447 . . . 4
3231imp 436 . . 3
334, 32jca 541 . 2
34 df-isom 5598 . . 3
35 df-isom 5598 . . 3
3634, 35anbi12i 711 . 2
37 df-isom 5598 . 2
3833, 36, 373imtr4i 274 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   class class class wbr 4395   ccom 4843  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589   wiso 5590 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598 This theorem is referenced by:  weisoeq  6264  oieu  8072  fz1isolem  12665  erdsze2lem2  29999  fzisoeu  37606
 Copyright terms: Public domain W3C validator