Theorem isotr 6227

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Proof of Theorem isotr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> G : B -1-1-onto-> C )
2		simpl 459	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1oco 5836	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
4	1, 2, 3	syl2anr 481	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
5		f1of 5814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
6	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> H : A --> B )
7		simprl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
8	6, 7	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
9		simprr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
10	6, 9	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
11		simplrr 771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) )
12		breq1 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( z S w <-> ( H ` x ) S w ) )
13		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( H ` x ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
14	13	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( G ` z ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) )
15	12, 14	bibi12d 323	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) ) )
16		breq2 4406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( H ` x ) S w <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
17		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( H ` y ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
18	17	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
19	16, 18	bibi12d 323	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) ) )
20	15, 19	rspc2va 3160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
21	8, 10, 11, 20	syl21anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
22		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
23	6, 7, 22	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
24		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
25	6, 9, 24	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
26	23, 25	breq12d 4415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
27	21, 26	bitr4d 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
28	27	bibi2d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
29	28	2ralbidva 2830	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
30	29	biimpd 211	. . . . 5 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
31	30	impancom 442	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
32	31	imp 431	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
33	4, 32	jca 535	. 2 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
34		df-isom 5591	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
35		df-isom 5591	. . 3 |- ( G Isom S , T ( B , C ) <-> ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) )
36	34, 35	anbi12i 703	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) <-> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) )
37		df-isom 5591	. 2 |- ( ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) <-> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
38	33, 36, 37	3imtr4i 270	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402   o. ccom 4838   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582   Isom wiso 5583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591

This theorem is referenced by:  weisoeq  6246  oieu  8054  fz1isolem  12624  erdsze2lem2  29927  fzisoeu  37518