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Theorem isotr 6245
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  ->  ( G  o.  H )  Isom  R ,  T  ( A ,  C ) )

Proof of Theorem isotr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )  ->  G : B -1-1-onto-> C )
2 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  H : A -1-1-onto-> B )
3 f1oco 5850 . . . 4  |-  ( ( G : B -1-1-onto-> C  /\  H : A -1-1-onto-> B )  ->  ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C )
41, 2, 3syl2anr 486 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( G  o.  H
) : A -1-1-onto-> C )
5 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
65ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  H : A
--> B )
7 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
86, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( H `  x )  e.  B
)
9 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
106, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( H `  y )  e.  B
)
11 simplrr 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )
12 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
z S w  <->  ( H `  x ) S w ) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( H `  x ) ) )
1413breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
( G `  z
) T ( G `
 w )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  w ) ) )
1512, 14bibi12d 328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) )  <-> 
( ( H `  x ) S w  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w ) ) ) )
16 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) S w  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( H `  y ) ) )
1817breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
1916, 18bibi12d 328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( ( H `  x ) S w  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w ) )  <-> 
( ( H `  x ) S ( H `  y )  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 ( H `  y ) ) ) ) )
2015, 19rspc2va 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y
)  e.  B )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
218, 10, 11, 20syl21anc 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( H `  x ) S ( H `  y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
22 fvco3 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  H ) `  x
)  =  ( G `
 ( H `  x ) ) )
236, 7, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( G  o.  H ) `  x )  =  ( G `  ( H `
 x ) ) )
24 fvco3 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G  o.  H ) `  y
)  =  ( G `
 ( H `  y ) ) )
256, 9, 24syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( G  o.  H ) `  y )  =  ( G `  ( H `
 y ) ) )
2623, 25breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( G  o.  H
) `  x ) T ( ( G  o.  H ) `  y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
2721, 26bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( H `  x ) S ( H `  y )  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) )
2827bibi2d 325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
29282ralbidva 2831 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
3029biimpd 212 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
3130impancom 447 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
3231imp 436 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) )
334, 32jca 541 . 2  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
34 df-isom 5598 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
35 df-isom 5598 . . 3  |-  ( G 
Isom  S ,  T  ( B ,  C )  <-> 
( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )
3634, 35anbi12i 711 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  <->  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) ) )
37 df-isom 5598 . 2  |-  ( ( G  o.  H ) 
Isom  R ,  T  ( A ,  C )  <-> 
( ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
3833, 36, 373imtr4i 274 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  ->  ( G  o.  H )  Isom  R ,  T  ( A ,  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   class class class wbr 4395    o. ccom 4843   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598
This theorem is referenced by:  weisoeq  6264  oieu  8072  fz1isolem  12665  erdsze2lem2  29999  fzisoeu  37606
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