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Theorem isosctrlem2 23748
Description: Lemma for isosctr 23750. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem isosctrlem2
StepHypRef Expression
1 1cnd 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
2 simpl1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
31, 2negsubd 9992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
4 1rp 11306 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
6 simpl3 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -.  1  =  A
)
7 simpl2 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  1 )
81, 2, 1sub32d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  ( ( 1  -  1 )  -  A ) )
9 1m1e0 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
109oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  =  ( 0  -  A
)
11 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
1210, 11eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  = 
-u A
138, 12syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  -u A
)
14 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  1  e.  CC )
15 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  e.  CC )
1614, 15subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
19 subeq0 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
2018, 19mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
2120biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  -> 
1  =  A ) )
2221con3dimp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
2322neqned 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
24233adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  =/=  0 )
2617, 25recrecd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( 1  -  A ) )
2714, 16, 24div2negd 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
2915negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  e.  CC )
3029, 16, 24cjdivd 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( ( * `  -u A
)  /  ( * `
 ( 1  -  A ) ) ) )
3115cjnegd 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
* `  A )
)
32 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
33 abs0 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( abs `  0 )  =  0
3432, 33syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
35 eqtr2 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  ( abs `  A
)  =  0 )  ->  1  =  0 )
3634, 35sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  1  =  0 )
37 ax-1ne0 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  =/=  0
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 1  =/=  0  ->  1  =/=  0 )
3938neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 1  =/=  0  ->  -.  1  =  0 )
4037, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  -.  1  = 
0 )
4136, 40pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  -.  A  =  0 )
4241adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  ->  -.  A  =  0
)
43 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
44 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
45 sq1 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4644, 45syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
48 absvalsq 13343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5047, 49eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
51503adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  1  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5251oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  /  A ) )
53 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
5453cjcld 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
55 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
5654, 53, 55divcan3d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  /  A )  =  ( * `  A ) )
5752, 56eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( * `  A ) )
5843, 57syl3an3br 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  A  =  0 )  ->  ( 1  /  A )  =  ( * `  A ) )
5942, 58mpd3an3 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( * `
 A ) )
6059eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
61603adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
6261negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( * `  A )  =  -u ( 1  /  A
) )
6331, 62eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
1  /  A ) )
6463oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( * `  -u A )  /  (
* `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u (
1  /  A )  /  ( * `  ( 1  -  A
) ) ) )
65 cjsub 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( ( * `  1 )  -  ( * `  A ) ) )
6618, 65mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( ( * ` 
1 )  -  (
* `  A )
) )
67 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  RR )
6867cjred 13289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  1 )  =  1 )
6968oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  1
)  -  ( * `
 A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A
) ) )
7066, 69eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( 1  -  (
* `  A )
) )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A ) ) )
7260oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  -  (
* `  A )
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7371, 72eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
74733adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7574oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( * `  (
1  -  A ) ) )  =  (
-u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
7630, 64, 753eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u ( 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
77413ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  -.  A  =  0 )
7877neqned 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  =/=  0 )
79 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
1  e.  CC )
80 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
81 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
8279, 80, 81divnegd 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u ( 1  /  A
)  =  ( -u
1  /  A ) )
8382oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8415, 78, 83syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  ( ( -u 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8514negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u 1  e.  CC )
8685, 15, 78divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  A )  e.  CC )
8715, 78reccld 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
8814, 87subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  e.  CC )
8916, 24cjne0d 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
9074, 89eqnetrrd 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  =/=  0 )
9186, 88, 15, 90, 78divcan5d 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
9285, 15, 78divcan2d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  ( -u 1  /  A ) )  =  -u 1
)
9315, 14, 87subdid 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A
) ) ) )
9415mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
9515, 78recidd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  /  A ) )  =  1 )
9694, 95oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
9793, 96eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
9892, 97oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( -u
1  /  ( A  -  1 ) ) )
9984, 91, 983eqtr2d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  (
-u 1  /  ( A  -  1 ) ) )
100 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
101100negnegd 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  ( A  -  1 ) )
102 negsubdi2 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
103102negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  -u ( 1  -  A
) )
104101, 103eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
10515, 14, 104syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
106105oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  / 
( A  -  1 ) )  =  (
-u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )
10776, 99, 1063eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
108107adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
10929, 16, 24divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC )
110109adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
111 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
112110, 111reim0bd 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
113112cjred 13289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )
114113, 112eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
115108, 114eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  e.  RR )
11628, 115eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
11716, 24recne0d 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
118117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
119116, 118rereccld 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
12026, 119eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR )
121 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR )
122120, 121resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  e.  RR )
12313, 122eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1242, 123negrebd 9985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
125124absord 13477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
126 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  <->  1  =  A ) )
127126biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  -> 
1  =  A ) )
128 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  <->  1  =  -u A ) )
129128biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  ->  1  =  -u A
) )
130127, 129orim12d 849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) ) )
1317, 125, 130sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) )
132131ord 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -.  1  =  A  ->  1  =  -u A ) )
1336, 132mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  -u A
)
134133, 5eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR+ )
1355, 134rpaddcld 11356 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
1363, 135eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR+ )
137136relogcld 23572 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  RR )
138137reim0d 13288 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
139134, 136rpdivcld 11358 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR+ )
140139relogcld 23572 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
141140reim0d 13288 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  0 )
142138, 141eqtr4d 2488 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
14316, 24logcld 23520 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
144143adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
145144imcld 13258 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
146145recnd 9669 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
147109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
14815, 78negne0d 9984 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  =/=  0
)
14929, 16, 148, 24divne0d 10399 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  =/=  0
)
150149adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
151147, 150logcld 23520 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
152151imcld 13258 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
153152recnd 9669 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  CC )
154107fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
155154adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
156 logcj 23555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
157109, 156sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
15816, 24reccld 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
159158, 117logcld 23520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
160159negnegd 9977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u -u ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )
161 isosctrlem1 23747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
162 logrec 23700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
16316, 24, 161, 162syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
164163negeqd 9869 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
16527fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )
166160, 164, 1653eqtr4rd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
167166adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
168155, 157, 1673eqtr3rd 2494 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( log `  (
1  -  A ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
169168fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( * `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) ) )
170144imnegd 13273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) ) )
171151imcjd 13268 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
172169, 170, 1713eqtr3d 2493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
173146, 153, 172neg11d 9998 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
174142, 173pm2.61dane 2711 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12272   *ccj 13159   Imcim 13161   abscabs 13297   picpi 14119   logclog 23504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506
This theorem is referenced by:  isosctrlem3  23749
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