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Theorem isosctrlem2 23827

Description: Lemma for isosctr 23829. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
isosctrlem2	$/\$ $/\$

**Proof of Theorem isosctrlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 9677	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
2		simpl1 1033	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
3	1, 2	negsubd 10011	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
4		1rp 11329	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6		simpl3 1035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		simpl2 1034	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
8	1, 2, 1	sub32d 10037	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
9		1m1e0 10700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
10	9	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11		df-neg 9883	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	10, 11	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	8, 12	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
14		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
15		simp1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
16	14, 15	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
18		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19		subeq0 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
20	18, 19	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
22	21	con3dimp 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
23	22	neqned 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
24	23	3adant2 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
25	24	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
26	17, 25	recrecd 10402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
27	14, 16, 24	div2negd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
28	27	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
29	15	negcld 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29, 16, 24	cjdivd 13363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	15	cjnegd 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
33		abs0 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
34	32, 33	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
35		eqtr2 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
36	34, 35	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
37		ax-1ne0 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
39	38	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
40	37, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
41	36, 40	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
42	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
43		df-ne 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
44		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
45		sq1 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
46	44, 45	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
47	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
48		absvalsq 13420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
49	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
50	47, 49	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
51	50	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
52	51	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
53		simp1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
54	53	cjcld 13336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
55		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
56	54, 53, 55	divcan3d 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
57	52, 56	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
58	43, 57	syl3an3br 1333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
59	42, 58	mpd3an3 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
60	59	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
61	60	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
62	61	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
63	31, 62	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
64	63	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
65		cjsub 13289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
66	18, 65	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
67		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
68	67	cjred 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
69	68	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
70	66, 69	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
72	60	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
73	71, 72	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
74	73	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
75	74	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
76	30, 64, 75	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
77	41	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
78	77	neqned 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
79		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
80		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
81		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
82	79, 80, 81	divnegd 10418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
83	82	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
84	15, 78, 83	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85	14	negcld 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
86	85, 15, 78	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
87	15, 78	reccld 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
88	14, 87	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89	16, 24	cjne0d 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
90	74, 89	eqnetrrd 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
91	86, 88, 15, 90, 78	divcan5d 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
92	85, 15, 78	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
93	15, 14, 87	subdid 10095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
94	15	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
95	15, 78	recidd 10400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
96	94, 95	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
97	93, 96	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
98	92, 97	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
99	84, 91, 98	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
100		subcl 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
101	100	negnegd 9996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
102		negsubdi2 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
103	102	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
104	101, 103	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
105	15, 14, 104	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
106	105	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
107	76, 99, 106	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
108	107	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
109	29, 16, 24	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
110	109	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
111		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	reim0bd 13340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	cjred 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
114	113, 112	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
115	108, 114	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
116	28, 115	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
117	16, 24	recne0d 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
118	117	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
119	116, 118	rereccld 10456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
121		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
123	13, 122	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
124	2, 123	negrebd 10004	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
125	124	absord 13554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
126		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13
127	126	biimpd 212	. . . . . . . . . . . 12
128		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	biimpd 212	. . . . . . . . . . . 12
130	127, 129	orim12d 856	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
131	7, 125, 130	sylc 61	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
132	131	ord 384	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
133	6, 132	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
134	133, 5	eqeltrrd 2550	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
135	5, 134	rpaddcld 11379	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
136	3, 135	eqeltrrd 2550	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	relogcld 23651	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	reim0d 13365	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
139	134, 136	rpdivcld 11381	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	relogcld 23651	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
141	140	reim0d 13365	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2508	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
143	16, 24	logcld 23599	. . . . . 6 $/\$ $/\$
144	143	adantr 472	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
145	144	imcld 13335	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	recnd 9687	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
147	109	adantr 472	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
148	15, 78	negne0d 10003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
149	29, 16, 148, 24	divne0d 10421	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
150	149	adantr 472	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
151	147, 150	logcld 23599	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	imcld 13335	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	recnd 9687	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
154	107	fveq2d 5883	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
155	154	adantr 472	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
156		logcj 23634	. . . . . . 7 $/\$
157	109, 156	sylan 479	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
158	16, 24	reccld 10398	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
159	158, 117	logcld 23599	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
160	159	negnegd 9996	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
161		isosctrlem1 23826	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
162		logrec 23779	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
163	16, 24, 161, 162	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
164	163	negeqd 9889	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
165	27	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
166	160, 164, 165	3eqtr4rd 2516	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
167	166	adantr 472	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 167	3eqtr3rd 2514	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
169	168	fveq2d 5883	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
170	144	imnegd 13350	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
171	151	imcjd 13345	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
172	169, 170, 171	3eqtr3d 2513	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
173	146, 153, 172	neg11d 10017	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
174	142, 173	pm2.61dane 2730	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 189 $\/$ wo 375 $/\$ wa 376 $/\$ w3a 1007

wceq 1452

wcel 1904

wne 2641

cfv 5589 (class class class)co 6308

cc 9555

cr 9556

cc0 9557

c1 9558

caddc 9560

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cneg 9881

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crp 11325

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cpi 14196

clog 23583

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 ax-addf 9636 ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-fal 1458 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-supp 6934 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-pm 7493 df-ixp 7541 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fsupp 7902 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-ioo 11664 df-ioc 11665 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-fl 12061 df-mod 12130 df-seq 12252 df-exp 12311 df-fac 12498 df-bc 12526 df-hash 12554 df-shft 13207 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-limsup 13603 df-clim 13629 df-rlim 13630 df-sum 13830 df-ef 14198 df-sin 14200 df-cos 14201 df-pi 14203 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-ress 15206 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-starv 15283 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-ip 15286 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-unif 15291 df-hom 15292 df-cco 15293 df-rest 15399 df-topn 15400 df-0g 15418 df-gsum 15419 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-prds 15424 df-xrs 15478 df-qtop 15484 df-imas 15485 df-xps 15488 df-mre 15570 df-mrc 15571 df-acs 15573 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-submnd 16661 df-mulg 16754 df-cntz 17049 df-cmn 17510 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-fbas 19044 df-fg 19045 df-cnfld 19048 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-topsp 20001 df-cld 20111 df-ntr 20112 df-cls 20113 df-nei 20191 df-lp 20229 df-perf 20230 df-cn 20320 df-cnp 20321 df-haus 20408 df-tx 20654 df-hmeo 20847 df-fil 20939 df-fm 21031 df-flim 21032 df-flf 21033 df-xms 21413 df-ms 21414 df-tms 21415 df-cncf 21988 df-limc 22900 df-dv 22901 df-log 23585

This theorem is referenced by: isosctrlem3 23828

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