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Theorem isosctrlem2 22897
Description: Lemma for isosctr 22899. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem isosctrlem2
StepHypRef Expression
1 1cnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
2 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
31, 2negsubd 9935 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
4 1rp 11223 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
6 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -.  1  =  A
)
7 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  1 )
81, 2, 1sub32d 9961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  ( ( 1  -  1 )  -  A ) )
9 1m1e0 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
109oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  =  ( 0  -  A
)
11 df-neg 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
1210, 11eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  = 
-u A
138, 12syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  -u A
)
14 1cnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  1  e.  CC )
15 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  e.  CC )
1614, 15subcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
19 subeq0 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
2018, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
2120biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  -> 
1  =  A ) )
2221con3dimp 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
2322neqned 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
24233adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  =/=  0 )
2617, 25recrecd 10316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( 1  -  A ) )
2714, 16, 24div2negd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
2915negcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  e.  CC )
3029, 16, 24cjdivd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( ( * `  -u A
)  /  ( * `
 ( 1  -  A ) ) ) )
3115cjnegd 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
* `  A )
)
32 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
33 abs0 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( abs `  0 )  =  0
3432, 33syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
35 eqtr2 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  ( abs `  A
)  =  0 )  ->  1  =  0 )
3634, 35sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  1  =  0 )
37 ax-1ne0 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  =/=  0
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 1  =/=  0  ->  1  =/=  0 )
3938neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 1  =/=  0  ->  -.  1  =  0 )
4037, 39mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  -.  1  = 
0 )
4136, 40pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  -.  A  =  0 )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  ->  -.  A  =  0
)
43 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
44 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
45 sq1 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4644, 45syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
48 absvalsq 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5047, 49eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
51503adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  1  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5251oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  /  A ) )
53 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
5453cjcld 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
55 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
5654, 53, 55divcan3d 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  /  A )  =  ( * `  A ) )
5752, 56eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( * `  A ) )
5843, 57syl3an3br 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  A  =  0 )  ->  ( 1  /  A )  =  ( * `  A ) )
5942, 58mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( * `
 A ) )
6059eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
61603adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
6261negeqd 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( * `  A )  =  -u ( 1  /  A
) )
6331, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
1  /  A ) )
6463oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( * `  -u A )  /  (
* `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u (
1  /  A )  /  ( * `  ( 1  -  A
) ) ) )
65 cjsub 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( ( * `  1 )  -  ( * `  A ) ) )
6618, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( ( * ` 
1 )  -  (
* `  A )
) )
67 1red 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  RR )
6867cjred 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  1 )  =  1 )
6968oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  1
)  -  ( * `
 A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A
) ) )
7066, 69eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( 1  -  (
* `  A )
) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A ) ) )
7260oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  -  (
* `  A )
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7371, 72eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
74733adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7574oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( * `  (
1  -  A ) ) )  =  (
-u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
7630, 64, 753eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u ( 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
77413ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  -.  A  =  0 )
7877neqned 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  =/=  0 )
79 1cnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
1  e.  CC )
80 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
8279, 80, 81divnegd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u ( 1  /  A
)  =  ( -u
1  /  A ) )
8382oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8415, 78, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  ( ( -u 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8514negcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u 1  e.  CC )
8685, 15, 78divcld 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  A )  e.  CC )
8715, 78reccld 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
8814, 87subcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  e.  CC )
8916, 24cjne0d 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
9074, 89eqnetrrd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  =/=  0 )
9186, 88, 15, 90, 78divcan5d 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
9285, 15, 78divcan2d 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  ( -u 1  /  A ) )  =  -u 1
)
9315, 14, 87subdid 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A
) ) ) )
9415mulid1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
9515, 78recidd 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  /  A ) )  =  1 )
9694, 95oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
9793, 96eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
9892, 97oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( -u
1  /  ( A  -  1 ) ) )
9984, 91, 983eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  (
-u 1  /  ( A  -  1 ) ) )
100 subcl 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
101100negnegd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  ( A  -  1 ) )
102 negsubdi2 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
103102negeqd 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  -u ( 1  -  A
) )
104101, 103eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
10515, 14, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
106105oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  / 
( A  -  1 ) )  =  (
-u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )
10776, 99, 1063eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
10929, 16, 24divcld 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC )
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
111 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
112110, 111reim0bd 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
113112cjred 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )
114113, 112eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
115108, 114eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  e.  RR )
11628, 115eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
11716, 24recne0d 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
119116, 118rereccld 10370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
12026, 119eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR )
121 1red 9610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR )
122120, 121resubcld 9986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  e.  RR )
12313, 122eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1242, 123negrebd 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
125124absord 13209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
126 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  <->  1  =  A ) )
127126biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  -> 
1  =  A ) )
128 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  <->  1  =  -u A ) )
129128biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  ->  1  =  -u A
) )
130127, 129orim12d 836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) ) )
1317, 125, 130sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) )
132131ord 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -.  1  =  A  ->  1  =  -u A ) )
1336, 132mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  -u A
)
134133, 5eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR+ )
1355, 134rpaddcld 11270 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
1363, 135eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR+ )
137136relogcld 22752 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  RR )
138137reim0d 13020 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
139134, 136rpdivcld 11272 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR+ )
140139relogcld 22752 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
141140reim0d 13020 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  0 )
142138, 141eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
14316, 24logcld 22702 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
144143adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
145144imcld 12990 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
146145recnd 9621 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
147109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
14815, 78negne0d 9927 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  =/=  0
)
14929, 16, 148, 24divne0d 10335 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  =/=  0
)
150149adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
151147, 150logcld 22702 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
152151imcld 12990 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
153152recnd 9621 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  CC )
154107fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
155154adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
156 logcj 22735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
157109, 156sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
15816, 24reccld 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
159158, 117logcld 22702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
160159negnegd 9920 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u -u ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )
161 isosctrlem1 22896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
162 logrec 22895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
16316, 24, 161, 162syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
164163negeqd 9813 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
16527fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )
166160, 164, 1653eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
167166adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
168155, 157, 1673eqtr3rd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( log `  (
1  -  A ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
169168fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( * `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) ) )
170144imnegd 13005 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) ) )
171151imcjd 13000 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
172169, 170, 1713eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
173146, 153, 172neg11d 9941 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
174142, 173pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   ^cexp 12133   *ccj 12891   Imcim 12893   abscabs 13029   picpi 13663   logclog 22686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688
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