Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isosctrlem1ALT Structured version   Unicode version

Theorem isosctrlem1ALT 37305
Description: Lemma for isosctr 23749. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/isosctrlem1altvd.html. As it is verified by the Metamath program, isosctrlem1ALT 37305 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/isosctrlem1altvd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem1ALT  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )

Proof of Theorem isosctrlem1ALT
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9605 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
42, 3subcld 9994 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
54adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  e.  CC )
6 subeq0 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
76biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  ->  1  =  A ) )
87idiALT 36803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  ->  1  =  A ) )
91, 3, 8sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  -> 
1  =  A ) )
109con3d 138 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  1  =  A  ->  -.  ( 1  -  A )  =  0 ) )
11 df-ne 2616 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
1211biimpri 209 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( 1  -  A
)  =  0  -> 
( 1  -  A
)  =/=  0 )
1310, 12syl6 34 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  1  =  A  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 ) )
1413imp 430 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
155, 14logcld 23519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( log `  ( 1  -  A
) )  e.  CC )
1615imcld 13259 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( Im `  ( log `  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
17163adant2 1024 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
18 pire 23412 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
19 2re 10687 . . . . 5  |-  2  e.  RR
20 2ne0 10710 . . . . 5  |-  2  =/=  0
2118, 19, 20redivcli 10382 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( pi  /  2
)  e.  RR )
2318a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  pi  e.  RR )
24 neghalfpirx 23420 . . . 4  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
2521rexri 9701 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
263recld 13258 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2726recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
2827subidd 9982 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  A ) )  =  0 )
2928adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  =  0 )
30 1re 9650 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  1  e.  RR )
321, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
333releabsd 13513 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  <_  ( abs `  A
) )
3433adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  ( abs `  A ) )
35 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  ( abs `  A )  =  1 )
3635adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( abs `  A
)  =  1 )
3734, 36breqtrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  1 )
38 lesub1 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
Re `  A )  e.  RR )  ->  (
( Re `  A
)  <_  1  <->  ( (
Re `  A )  -  ( Re `  A ) )  <_ 
( 1  -  (
Re `  A )
) ) )
39383impcombi 37178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR  /\  (
Re `  A )  <_  1 )  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  A ) )  <_  ( 1  -  ( Re `  A
) ) )
4039idiALT 36803 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR  /\  (
Re `  A )  <_  1 )  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  A ) )  <_  ( 1  -  ( Re `  A
) ) )
4132, 26, 37, 40eel0121 37063 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
4229, 41eqbrtrrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
4332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4443rered 13288 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( Re `  1
)  =  1 )
4544trud 1446 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  1 )  =  1
46 oveq1 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  =  1  ->  (
( Re `  1
)  -  ( Re
`  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  A
) ) )
4746eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  1 )  =  1  ->  (
1  -  ( Re
`  A ) )  =  ( ( Re
`  1 )  -  ( Re `  A ) ) )
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( Re `  A ) )  =  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  A )
)
49 resub 13191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  A ) ) )
5049eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( 1  -  A ) ) )
5150idiALT 36803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( 1  -  A ) ) )
521, 3, 51sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  1
)  -  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
5348, 52syl5eq 2475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
5453adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  -  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( 1  -  A ) ) )
5542, 54breqtrd 4448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
56 argrege0 23559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
57563coml 1212 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) )  /\  (
1  -  A )  e.  CC )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
58573com13 1210 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) )  /\  (
1  -  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
594, 55, 14, 58eel12131 37071 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
60 iccleub 11698 . . . 4  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
6124, 25, 59, 60eel001 37066 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
62 pipos 23414 . . . . . 6  |-  0  <  pi
6318, 62elrpii 11313 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
64 rphalflt 11337 . . . . 5  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6563, 64ax-mp 5 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
6665a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( pi  /  2
)  <  pi )
6717, 22, 23, 61, 66lelttrd 9801 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi )
6817, 67ltned 9779 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   -ucneg 9869    / cdiv 10277   2c2 10667   RR+crp 11310   [,]cicc 11646   Recre 13161   Imcim 13162   abscabs 13298   picpi 14119   logclog 23503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13131  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-nei 20113  df-lp 20151  df-perf 20152  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-haus 20330  df-tx 20576  df-hmeo 20769  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-xms 21334  df-ms 21335  df-tms 21336  df-cncf 21909  df-limc 22820  df-dv 22821  df-log 23505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator