MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem isosctrlem1 23021
Description: Lemma for isosctr 23024. (Contributed by Saveliy Skresanov, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )

Proof of Theorem isosctrlem1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9550 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2 subcl 9821 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  e.  CC )
5 subeq0 9847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
65notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -.  ( 1  -  A )  =  0  <->  -.  1  =  A ) )
71, 6mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  -  A
)  =  0  <->  -.  1  =  A )
)
87biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
98neqned 2644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
104, 9logcld 22827 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( log `  ( 1  -  A
) )  e.  CC )
1110imcld 13004 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( Im `  ( log `  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
12113adant2 1014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
1333ad2ant1 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
1493adant2 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
15 releabs 13130 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  <_  ( abs `  A
) )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  ( abs `  A ) )
17 breq2 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( Re `  A
)  <_  ( abs `  A )  <->  ( Re `  A )  <_  1
) )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( Re `  A )  <_  ( abs `  A )  <->  ( Re `  A )  <_  1
) )
1916, 18mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  1 )
20 recl 12919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2120recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
2221subidd 9921 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  A ) )  =  0 )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  =  0 )
24 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  ->  A  e.  CC )
2524recld 13003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
26 1red 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
1  e.  RR )
27 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  1 )
2825, 26, 25, 27lesub1dd 10171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
2923, 28eqbrtrrd 4456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
3019, 29syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
31 resub 12936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  A ) ) )
32 re1 12963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  1 )  =  1
3332oveq1i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  A ) )  =  ( 1  -  (
Re `  A )
)
3431, 33syl6eq 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
351, 34mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( 1  -  A ) )  =  ( 1  -  (
Re `  A )
) )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
3730, 36breqtrrd 4460 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
38373adant3 1015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
39 argrege0 22865 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
40 neghalfpirx 22728 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
41 halfpire 22726 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4241rexri 9646 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
43 iccleub 11586 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
4440, 42, 43mp3an12 1313 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
4539, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
4613, 14, 38, 45syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
47 pirp 22723 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
48 rphalflt 11252 . . . . 5  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
4947, 48ax-mp 5 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
5046, 49jctir 538 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  /  2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi ) )
51 pire 22720 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  pi  e.  RR )
5352rehalfcld 10788 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( pi  /  2 )  e.  RR )
54 lelttr 9675 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  /  2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
5511, 53, 52, 54syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( (
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
56553adant2 1014 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( ( Im
`  ( log `  (
1  -  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
5750, 56mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi )
5812, 57ltned 9721 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807   -ucneg 9808    / cdiv 10209   2c2 10588   RR+crp 11226   [,]cicc 11538   Recre 12906   Imcim 12907   abscabs 13043   picpi 13677   logclog 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-ioo 11539  df-ioc 11540  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-mod 11973  df-seq 12084  df-exp 12143  df-fac 12330  df-bc 12357  df-hash 12382  df-shft 12876  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485  df-ef 13678  df-sin 13680  df-cos 13681  df-pi 13683  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-fbas 18287  df-fg 18288  df-cnfld 18292  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392  df-nei 19469  df-lp 19507  df-perf 19508  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-haus 19686  df-tx 19933  df-hmeo 20126  df-fil 20217  df-fm 20309  df-flim 20310  df-flf 20311  df-xms 20693  df-ms 20694  df-tms 20695  df-cncf 21252  df-limc 22140  df-dv 22141  df-log 22813
This theorem is referenced by:  isosctrlem2  23022
  Copyright terms: Public domain W3C validator