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Theorem isores3 6025
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )

Proof of Theorem isores3
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5639 . . . . . . 7  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
2 f1ores 5654 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
32expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-> B  -> 
( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
) ) )
41, 3syl5 32 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5 ssralv 3415 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
6 ssralv 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
8 fvres 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 a )  =  ( H `  a
) )
9 fvres 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 b )  =  ( H `  b
) )
108, 9breqan12d 4306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  K  /\  b  e.  K )  ->  ( ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1110adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1211bibi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) )  <->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1312biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
1413ralimdva 2793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
157, 14syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
1615ralimdva 2793 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
175, 16syld 44 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
184, 17anim12d 563 . . . . 5  |-  ( K 
C_  A  ->  (
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )  ->  ( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
)  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) ) )
19 df-isom 5426 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
20 df-isom 5426 . . . . 5  |-  ( ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) )  <-> 
( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K )  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  (
a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
2118, 19, 203imtr4g 270 . . . 4  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) ) )
2221impcom 430 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) )
23 isoeq5 6013 . . 3  |-  ( X  =  ( H " K )  ->  (
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  X )  <-> 
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) ) ) )
2422, 23syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( X  =  ( H " K )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) ) )
25243impia 1184 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   class class class wbr 4291    |` cres 4841   "cima 4842   -1-1->wf1 5414   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417    Isom wiso 5418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  7887  cantnfp1lem3OLD  7913  fpwwe2lem9  8804  efcvx  21913
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