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Theorem isores3 6206
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )

Proof of Theorem isores3
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5797 . . . . . . 7  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
2 f1ores 5812 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
32expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-> B  -> 
( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
) ) )
41, 3syl5 32 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5 ssralv 3550 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
6 ssralv 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
76adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
8 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 a )  =  ( H `  a
) )
9 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 b )  =  ( H `  b
) )
108, 9breqan12d 4454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  K  /\  b  e.  K )  ->  ( ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1110adantll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1211bibi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) )  <->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1312biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
1413ralimdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
157, 14syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
1615ralimdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
175, 16syld 44 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
184, 17anim12d 561 . . . . 5  |-  ( K 
C_  A  ->  (
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )  ->  ( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
)  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) ) )
19 df-isom 5579 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
20 df-isom 5579 . . . . 5  |-  ( ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) )  <-> 
( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K )  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  (
a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
2118, 19, 203imtr4g 270 . . . 4  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) ) )
2221impcom 428 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) )
23 isoeq5 6194 . . 3  |-  ( X  =  ( H " K )  ->  (
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  X )  <-> 
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) ) ) )
2422, 23syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( X  =  ( H " K )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) ) )
25243impia 1191 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |` cres 4990   "cima 4991   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570    Isom wiso 5571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8090  cantnfp1lem3OLD  8116  fpwwe2lem9  9005  efcvx  23013
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