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Theorem isopolem 6240
Description: Lemma for isopo 6241. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )

Proof of Theorem isopolem
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  d  e.  A )  ->  ( H `  d
)  e.  B )
43ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( d  e.  A  ->  ( H `  d
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  e  e.  A )  ->  ( H `  e
)  e.  B )
65ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( e  e.  A  ->  ( H `  e
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  f  e.  A )  ->  ( H `  f
)  e.  B )
87ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( f  e.  A  ->  ( H `  f
)  e.  B ) )
94, 6, 83anim123d 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
101, 2, 93syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
1110imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( H `  d )  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) )
12 breq12 4458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( H `
 d )  /\  a  =  ( H `  d ) )  -> 
( a S a  <-> 
( H `  d
) S ( H `
 d ) ) )
1312anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S a  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
1413notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  ( -.  a S a  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
15 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S b  <->  ( H `  d ) S b ) )
1615anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( a S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c ) ) )
17 breq1 4456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S c  <->  ( H `  d ) S c ) )
1816, 17imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c )  <->  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
1914, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
20 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( H `  d
) S b  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
21 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
b S c  <->  ( H `  e ) S c ) )
2220, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
2423anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
25 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  e
) S c  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
27 breq2 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  d
) S c  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
2928anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3019, 24, 29rspc3v 3231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3111, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
32 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
33 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  d  e.  A )
34 isorel 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  d  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3532, 33, 33, 34syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( -.  d R d  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
37 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  e  e.  A )
38 isorel 6221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
3932, 33, 37, 38syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
40 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  f  e.  A )
41 isorel 6221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4232, 37, 40, 41syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4339, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
d R e  /\  e R f )  <->  ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
44 isorel 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4532, 33, 40, 44syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4643, 45imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
4736, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) )  <-> 
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) ) )
4831, 47sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) )
4948ex 434 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) ) )
5049com23 78 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) ) ) ) )
5150imp31 432 . . . 4  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  /\  ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A ) )  -> 
( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) )
5251ralrimivvva 2889 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5352ex 434 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R
d  /\  ( (
d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) ) )
54 df-po 4806 . 2  |-  ( S  Po  B  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) ) )
55 df-po 4806 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5653, 54, 553imtr4g 270 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453    Po wpo 4804   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-po 4806  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603
This theorem is referenced by:  isopo  6241  isosolem  6242
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