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Theorem isopolem 6148
Description: Lemma for isopo 6149. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )

Proof of Theorem isopolem
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  d  e.  A )  ->  ( H `  d
)  e.  B )
43ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( d  e.  A  ->  ( H `  d
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  e  e.  A )  ->  ( H `  e
)  e.  B )
65ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( e  e.  A  ->  ( H `  e
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  f  e.  A )  ->  ( H `  f
)  e.  B )
87ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( f  e.  A  ->  ( H `  f
)  e.  B ) )
94, 6, 83anim123d 1297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
101, 2, 93syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
1110imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( H `  d )  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) )
12 breq12 4408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( H `
 d )  /\  a  =  ( H `  d ) )  -> 
( a S a  <-> 
( H `  d
) S ( H `
 d ) ) )
1312anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S a  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
1413notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  ( -.  a S a  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
15 breq1 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S b  <->  ( H `  d ) S b ) )
1615anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( a S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c ) ) )
17 breq1 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S c  <->  ( H `  d ) S c ) )
1816, 17imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c )  <->  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
1914, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
20 breq2 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( H `  d
) S b  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
21 breq1 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
b S c  <->  ( H `  e ) S c ) )
2220, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
2423anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
25 breq2 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  e
) S c  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
27 breq2 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  d
) S c  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
2928anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3019, 24, 29rspc3v 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3111, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
32 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
33 simpr1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  d  e.  A )
34 isorel 6129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  d  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3532, 33, 33, 34syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( -.  d R d  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
37 simpr2 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  e  e.  A )
38 isorel 6129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
3932, 33, 37, 38syl12anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
40 simpr3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  f  e.  A )
41 isorel 6129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4232, 37, 40, 41syl12anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4339, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
d R e  /\  e R f )  <->  ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
44 isorel 6129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4532, 33, 40, 44syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4643, 45imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
4736, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) )  <-> 
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) ) )
4831, 47sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) )
4948ex 434 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) ) )
5049com23 78 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) ) ) ) )
5150imp31 432 . . . 4  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  /\  ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A ) )  -> 
( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) )
5251ralrimivvva 2915 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5352ex 434 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R
d  /\  ( (
d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) ) )
54 df-po 4752 . 2  |-  ( S  Po  B  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) ) )
55 df-po 4752 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5653, 54, 553imtr4g 270 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403    Po wpo 4750   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529    Isom wiso 5530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-po 4752  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538
This theorem is referenced by:  isopo  6149  isosolem  6150
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