MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopo Structured version   Unicode version

Theorem isopo 6224
Description: An isomorphism preserves partial ordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopo  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )

Proof of Theorem isopo
StepHypRef Expression
1 isocnv 6208 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isopolem 6223 . . 3  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B
) )
4 isopolem 6223 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
53, 4impbid 191 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    Po wpo 4741   `'ccnv 4821    Isom wiso 5569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-po 4743  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator