MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Unicode version

Theorem isopn3i 20029
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 elssuni 4251 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_ 
U. J )
3 eqid 2429 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43isopn3 20013 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
52, 4sylan2 476 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S ) )
61, 5mpbid 213 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Topctop 19848   intcnt 19963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-top 19852  df-ntr 19966
This theorem is referenced by:  maxlp  20094  cnntr  20222  bcth2  22191  dvrec  22786  dvmptres  22794  dvcnvlem  22805  dvlip  22822  dvlipcn  22823  dvlip2  22824  dvne0  22840  lhop2  22844  lhop  22845  psercn  23246  dvlog  23461  dvlog2  23463  cxpcn3  23553  efrlim  23760  lgamgulmlem2  23820  cvmlift2lem11  29824  cvmlift2lem12  29825  binomcxplemdvbinom  36338  binomcxplemnotnn0  36341  limciccioolb  37272  limcicciooub  37288  limcresiooub  37294  limcresioolb  37295  dirkercncflem2  37534  fourierdlem32  37569  fourierdlem33  37570  fourierdlem48  37585  fourierdlem49  37586  fourierdlem62  37599  fouriersw  37662
  Copyright terms: Public domain W3C validator