MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Unicode version

Theorem isopn3i 18691
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 elssuni 4126 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_ 
U. J )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43isopn3 18675 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
52, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   U.cuni 4096   ` cfv 5423   Topctop 18503   intcnt 18626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-top 18508  df-ntr 18629
This theorem is referenced by:  maxlp  18756  cnntr  18884  bcth2  20846  dvrec  21434  dvmptres  21442  dvcnvlem  21453  dvlip  21470  dvlipcn  21471  dvlip2  21472  dvne0  21488  lhop2  21492  lhop  21493  psercn  21896  dvlog  22101  dvlog2  22103  cxpcn3  22191  efrlim  22368  lgamgulmlem2  27021  cvmlift2lem11  27207  cvmlift2lem12  27208
  Copyright terms: Public domain W3C validator