MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Unicode version

Theorem isopn3i 19346
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 elssuni 4275 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_ 
U. J )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43isopn3 19330 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
52, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19158   intcnt 19281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-top 19163  df-ntr 19284
This theorem is referenced by:  maxlp  19411  cnntr  19539  bcth2  21501  dvrec  22090  dvmptres  22098  dvcnvlem  22109  dvlip  22126  dvlipcn  22127  dvlip2  22128  dvne0  22144  lhop2  22148  lhop  22149  psercn  22552  dvlog  22757  dvlog2  22759  cxpcn3  22847  efrlim  23024  lgamgulmlem2  28209  cvmlift2lem11  28395  cvmlift2lem12  28396  limciccioolb  31163  limcicciooub  31179  limcresiooub  31184  limcresioolb  31185  cncfiooicclem1  31232  dirkercncflem2  31404  fourierdlem32  31439  fourierdlem33  31440  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem62  31469  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator