Theorem isopn 9136

Description: The defining property of an open set of a metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
opnfval.1	|- X = dom dom D
opnfval.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
isopn	|- (D e. Met -> (A e. J <-> (A C_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,D,y   x,X,y

Proof of Theorem isopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		opnfval.2	. . . 4 |- J = (Open` D)
3	1, 2	opnfval 9134	. . 3 |- (D e. Met -> J = {z | (z C_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z))})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- (D e. Met -> (A e. J <-> A e. {z | (z C_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z))}))
5		dmexg 4206	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
6		dmexg 4206	. . . . 5 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
7	5, 6	syl 12	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
8	7, 1	syl5eqel 1975	. . 3 |- (D e. Met -> X e. _V)
9		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (z = A -> (y C_ z <-> y C_ A))
10	9	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (z = A -> ((x e. y /\ y C_ z) <-> (x e. y /\ y C_ A)))
11	10	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (z = A -> (E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z) <-> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A)))
12	11	raleqbi1dv 2271	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z) <-> A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A)))
13	12	elssabg 3462	. . 3 |- (X e. _V -> (A e. {z | (z C_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z))} <-> (A C_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A))))
14	8, 13	syl 12	. 2 |- (D e. Met -> (A e. {z | (z C_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ z))} <-> (A C_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A))))
15	4, 14	bitrd 587	1 |- (D e. Met -> (A e. J <-> (A C_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y C_ A))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  opnm 9137  isopn4 9139  opnss 9140  opni 9141  blssopn 9144  opnuni 9145  opnin 9146  subtopmetlem 10255  ismtyhmeolem 15950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain