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Theorem isomnd 26169
Description: A (left) ordered monoid is a monoid with a total ordering compatible with its operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isomnd.0  |-  B  =  ( Base `  M
)
isomnd.1  |-  .+  =  ( +g  `  M )
isomnd.2  |-  .<_  =  ( le `  M )
Assertion
Ref Expression
isomnd  |-  ( M  e. oMnd 
<->  ( M  e.  Mnd  /\  M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, B    M, a,
b, c
Allowed substitution hints:    .+ ( a, b, c)    .<_ ( a, b, c)

Proof of Theorem isomnd
Dummy variables  l  m  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( Base `  m )  e.  _V
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  e. 
_V )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
v  =  ( Base `  m ) )
4 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
63, 5eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
v  =  ( Base `  M ) )
7 isomnd.0 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  M
)
86, 7syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
v  =  B )
9 raleq 2922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  B  ->  ( A. c  e.  v 
( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) )  <->  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
109raleqbi1dv 2930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  B  ->  ( A. b  e.  v  A. c  e.  v 
( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) )  <->  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
1110raleqbi1dv 2930 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  B  ->  ( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v 
( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
128, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  ( a l b  ->  ( a
p c ) l ( b p c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a
l b  ->  (
a p c ) l ( b p c ) ) ) )
1312anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
( ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v 
A. b  e.  v 
A. c  e.  v  ( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a
p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
1413sbcbidv 3250 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
( [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
1514sbcbidv 3250 . . . . . 6  |-  ( ( m  =  M  /\  v  =  ( Base `  m ) )  -> 
( [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
162, 15sbcied 3228 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( Base `  m
)  /  v ]. [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
17 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  m )  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  e. 
_V )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  ->  p  =  ( +g  `  m ) )
20 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
2219, 21eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  ->  p  =  ( +g  `  M ) )
23 isomnd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2422, 23syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  ->  p  =  .+  )
2524oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( a p c )  =  ( a 
.+  c ) )
2624oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( b p c )  =  ( b 
.+  c ) )
2725, 26breq12d 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( ( a p c ) l ( b p c )  <-> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( ( a l b  ->  ( a
p c ) l ( b p c ) )  <->  ( a
l b  ->  (
a  .+  c )
l ( b  .+  c ) ) ) )
2928ralbidv 2740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a
p c ) l ( b p c ) )  <->  A. c  e.  B  ( a
l b  ->  (
a  .+  c )
l ( b  .+  c ) ) ) )
30292ralbidv 2762 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a
p c ) l ( b p c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a
l b  ->  (
a  .+  c )
l ( b  .+  c ) ) ) )
3130anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a  .+  c ) l ( b  .+  c ) ) ) ) )
3231sbcbidv 3250 . . . . . 6  |-  ( ( m  =  M  /\  p  =  ( +g  `  m ) )  -> 
( [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) ) ) )
3318, 32sbcied 3228 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) ) ) )
3416, 33bitrd 253 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( Base `  m
)  /  v ]. [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) ) ) )
35 biidd 237 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) )  <->  [. ( le `  m )  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) ) ) )
36 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( le
`  m )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( le `  m )  e. 
_V )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
l  =  ( le
`  m ) )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  ->  m  =  M )
4039fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( le `  m
)  =  ( le
`  M ) )
4138, 40eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
l  =  ( le
`  M ) )
42 isomnd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  M )
4341, 42syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
l  =  .<_  )
4443breqd 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( a l b  <-> 
a  .<_  b ) )
4543breqd 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( ( a  .+  c ) l ( b  .+  c )  <-> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) )
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( ( a l b  ->  ( a  .+  c ) l ( b  .+  c ) )  <->  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) )
4746ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a  .+  c ) l ( b  .+  c ) )  <->  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  -> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) ) )
48472ralbidv 2762 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a  .+  c ) l ( b  .+  c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  -> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) ) )
4948anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( m  =  M  /\  l  =  ( le `  m ) )  -> 
( ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a l b  ->  ( a  .+  c ) l ( b  .+  c ) ) )  <->  ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) ) )
5037, 49sbcied 3228 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) )  <->  ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  -> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) ) ) )
51 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
m  e. Toset  <->  M  e. Toset ) )
5251anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a  .<_  b  ->  (
a  .+  c )  .<_  ( b  .+  c
) ) )  <->  ( M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) ) )
5335, 50, 523bitrd 279 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a l b  -> 
( a  .+  c
) l ( b 
.+  c ) ) )  <->  ( M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  -> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) ) ) )
5434, 53bitrd 253 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  ( [. ( Base `  m
)  /  v ]. [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) )  <->  ( M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  -> 
( a  .+  c
)  .<_  ( b  .+  c ) ) ) ) )
55 df-omnd 26167 . . 3  |- oMnd  =  {
m  e.  Mnd  |  [. ( Base `  m
)  /  v ]. [. ( +g  `  m
)  /  p ]. [. ( le `  m
)  /  l ]. ( m  e. Toset  /\  A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  (
a l b  -> 
( a p c ) l ( b p c ) ) ) }
5654, 55elrab2 3124 . 2  |-  ( M  e. oMnd 
<->  ( M  e.  Mnd  /\  ( M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a  .<_  b  ->  (
a  .+  c )  .<_  ( b  .+  c
) ) ) ) )
57 3anass 969 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) )  <->  ( M  e. 
Mnd  /\  ( M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) ) )
5856, 57bitr4i 252 1  |-  ( M  e. oMnd 
<->  ( M  e.  Mnd  /\  M  e. Toset  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a  .<_  b  ->  ( a  .+  c )  .<_  ( b 
.+  c ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [.wsbc 3191   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   lecple 14250  Tosetctos 15208   Mndcmnd 15414  oMndcomnd 26165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099  df-omnd 26167
This theorem is referenced by:  omndmnd  26172  omndtos  26173  omndadd  26174  submomnd  26178  xrge0omnd  26179  reofld  26313
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