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Theorem isomenndlem 38470
Description:  O is sub-additive w.r.t. countable indexed union, implies that  O is sub-additive w.r.t. countable union. Thus, the definition of Outer Measure can be given using an indexed union. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomenndlem.o  |-  ( ph  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
isomenndlem.o0  |-  ( ph  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
isomenndlem.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  ~P X
)
isomenndlem.subadd  |-  ( (
ph  /\  a : NN
--> ~P X )  -> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
isomenndlem.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
isomenndlem.f  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> Y )
isomenndlem.a  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
Assertion
Ref Expression
isomenndlem  |-  ( ph  ->  ( O `  U. Y )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, a, n    B, n    n, F    O, a, n    X, a   
n, Y    ph, a, n
Allowed substitution hints:    B( a)    F( a)    X( n)    Y( a)

Proof of Theorem isomenndlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( ph  ->  ph )
2 iftrue 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  B  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  =  ( F `  n ) )
32adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  =  ( F `  n ) )
4 isomenndlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> Y )
5 f1of 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : B -1-1-onto-> Y  ->  F : B
--> Y )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> Y )
7 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  C_  ( Y  u.  { (/) } )
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( Y  u.  { (/) } ) )
96, 8fssd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Y  u.  { (/) } ) )
109ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  ( F `  n )  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) )
113, 10eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
1211adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
13 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  B  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  =  (/) )
1413adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  =  (/) )
15 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
1615snid 3988 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
17 elun2 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( Y  u.  { (/) } )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  n  e.  B )  ->  (/)  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
2014, 19eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
2120adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) )  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )
2212, 21pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) )  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) )
23 isomenndlem.a . . . . 5  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
2422, 23fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> ( Y  u.  { (/) } ) )
25 isomenndlem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  ~P X
)
26 0elpw 4570 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P X
27 snssi 4107 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ~P X  ->  { (/) } 
C_  ~P X )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { (/) } 
C_  ~P X
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  ~P X )
3025, 29unssd 3601 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { (/)
} )  C_  ~P X )
3124, 30fssd 5750 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN --> ~P X
)
32 nnex 10637 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
3332mptex 6152 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) ) )  e.  _V
3423, 33eqeltri 2545 . . . 4  |-  A  e. 
_V
35 feq1 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
a : NN --> ~P X  <->  A : NN --> ~P X
) )
3635anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a : NN --> ~P X )  <-> 
( ph  /\  A : NN
--> ~P X ) ) )
37 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a `  n )  =  ( A `  n ) )
3837iuneq2d 4296 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  U_ n  e.  NN  ( a `  n )  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
3938fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  =  ( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
40 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  A  /\  n  e.  NN )  ->  a  =  A )
4140fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  A  /\  n  e.  NN )  ->  ( a `  n
)  =  ( A `
 n ) )
4241fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  A  /\  n  e.  NN )  ->  ( O `  (
a `  n )
)  =  ( O `
 ( A `  n ) ) )
4342mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( O `
 ( A `  n ) ) ) )
4443fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) )
4539, 44breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) )  <->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) ) )
4636, 45imbi12d 327 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a : NN --> ~P X
)  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n
) )  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A : NN --> ~P X )  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) ) ) )
47 isomenndlem.subadd . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a : NN
--> ~P X )  -> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
4834, 46, 47vtocl 3086 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A : NN
--> ~P X )  -> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) )
491, 31, 48syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) )
506ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  F : B --> Y )
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  NN  ->  B  =  NN )
5352eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  NN  ->  NN  =  B )
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  NN )  ->  NN  =  B )
5551, 54eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  B )
5655adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  B )
5750, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  Y )
58 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `  n ) )
5957, 58fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) ) : NN --> Y )
6023a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) )
6155iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) )  =  ( F `  n )
)
6261mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
6360, 62eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
6463feq1d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  NN  ->  ( A : NN --> Y  <->  ( n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) : NN --> Y ) )
6564adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  ( A : NN --> Y  <->  ( n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) : NN --> Y ) )
6659, 65mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  A : NN
--> Y )
67 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : B -1-1-onto-> Y  ->  F : B -onto-> Y )
684, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : B -onto-> Y
)
69 dffo3 6052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : B -onto-> Y  <->  ( F : B --> Y  /\  A. y  e.  Y  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) ) )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F : B --> Y  /\  A. y  e.  Y  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) ) )
7170simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. y  e.  Y  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) )
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
74 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  Y  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n )  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) )
7572, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) )
7675adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  B  y  =  ( F `  n ) )
77 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( ph  /\  B  =  NN )
78 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n )
79 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  B )
80 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  B  =  NN )
8179, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  NN )
8281adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  NN )
83823adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  ->  n  e.  NN )
8460fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) ) ) `
 n ) )
85843ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  -> 
( A `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) `  n
) )
86 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
8786, 15ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) )  e.  _V )
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
9089fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) `  n )  =  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
9181, 88, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) `  n )  =  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
922adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) )  =  ( F `  n )
)
9391, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) `  n )  =  ( F `  n ) )
94933adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) ) `  n )  =  ( F `  n ) )
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( F `  n )  ->  y  =  ( F `  n ) )
9695eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  n )  ->  ( F `  n )  =  y )
97963ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  n
)  =  y )
9885, 94, 973eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  =  NN  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  -> 
y  =  ( A `
 n ) )
99983adant1l 1284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  -> 
y  =  ( A `
 n ) )
100 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( A `  n ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
10183, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  n  e.  B  /\  y  =  ( F `  n ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
1021013exp 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  ( n  e.  B  ->  (
y  =  ( F `
 n )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) ) )
10377, 78, 102rexlimd 2866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  ( E. n  e.  B  y  =  ( F `  n )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
104103adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  B  y  =  ( F `  n )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
10576, 104mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
106105ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  A. y  e.  Y  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
10766, 106jca 541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  ( A : NN --> Y  /\  A. y  e.  Y  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
108 dffo3 6052 . . . . . . 7  |-  ( A : NN -onto-> Y  <->  ( A : NN --> Y  /\  A. y  e.  Y  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
109107, 108sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  A : NN -onto-> Y )
110 founiiun 37517 . . . . . 6  |-  ( A : NN -onto-> Y  ->  U. Y  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
111109, 110syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  NN )  ->  U. Y  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )
112 uniun 4209 . . . . . . . 8  |-  U. ( Y  u.  { (/) } )  =  ( U. Y  u.  U. { (/) } )
11315unisn 4205 . . . . . . . . 9  |-  U. { (/)
}  =  (/)
114113uneq2i 3576 . . . . . . . 8  |-  ( U. Y  u.  U. { (/) } )  =  ( U. Y  u.  (/) )
115 un0 3762 . . . . . . . 8  |-  ( U. Y  u.  (/) )  = 
U. Y
116112, 114, 1153eqtrri 2498 . . . . . . 7  |-  U. Y  =  U. ( Y  u.  {
(/) } )
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  U. Y  =  U. ( Y  u.  {
(/) } ) )
11824adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  A : NN --> ( Y  u.  {
(/) } ) )
119 isomenndlem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  B  C_  NN )
12152necon3bi 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  B  =  NN  ->  B  =/=  NN )
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  B  =/=  NN )
123120, 122jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  ( B  C_  NN  /\  B  =/=  NN ) )
124 df-pss 3406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
C.  NN  <->  ( B  C_  NN  /\  B  =/=  NN ) )
125123, 124sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  B  C.  NN )
126 pssnel 3829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C.  NN  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
-.  n  e.  B
) )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
-.  n  e.  B
) )
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  =  (/) )  ->  E. n ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B ) )
129 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  =  (/) )
130 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  n  e.  NN )
131 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B ) )  ->  n  e.  NN )
13287a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B ) )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  _V )
13323fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) ) )
134131, 132, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B ) )  -> 
( A `  n
)  =  if ( n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) ) )
135134adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  ( A `  n )  =  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) ) )
13613ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) )  =  (/) )
137 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (/)  ->  y  =  (/) )
138137eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  (/)  =  y )
139138ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  (/)  =  y )
140135, 136, 1393eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  y  =  ( A `  n ) )
141130, 140, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  =  (/) )  /\  (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
142141ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( (
n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
)  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
143142adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
144129, 78, 143exlimd 2017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  =  (/) )  -> 
( E. n ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  B
)  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
145128, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
146145adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )  /\  y  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
147 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  ph )
148 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( Y  u.  { (/) } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) )
149 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
150149con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  -.  y  e.  { (/) } )
151150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( Y  u.  { (/) } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  -.  y  e.  { (/) } )
152 elunnel2 37423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( Y  u.  { (/) } )  /\  -.  y  e. 
{ (/) } )  -> 
y  e.  Y )
153148, 151, 152syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( Y  u.  { (/) } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  e.  Y )
154153adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  Y )
15568adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  F : B -onto-> Y )
156 foelrni 5927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : B -onto-> Y  /\  y  e.  Y
)  ->  E. n  e.  B  ( F `  n )  =  y )
157155, 73, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  B  ( F `  n )  =  y )
158 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  y  e.  Y )
159119sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  NN )
1601593adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B  /\  ( F `  n )  =  y )  ->  n  e.  NN )
161159, 87, 133sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  ( A `  n )  =  if ( n  e.  B ,  ( F `
 n ) ,  (/) ) )
162161, 3eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  ( A `  n )  =  ( F `  n ) )
1631623adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B  /\  ( F `  n )  =  y )  ->  ( A `  n )  =  ( F `  n ) )
164 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B  /\  ( F `  n )  =  y )  ->  ( F `  n )  =  y )
165163, 164eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B  /\  ( F `  n )  =  y )  ->  y  =  ( A `  n ) )
166160, 165, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B  /\  ( F `  n )  =  y )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
1671663exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  ->  ( ( F `  n )  =  y  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) ) )
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
n  e.  B  -> 
( ( F `  n )  =  y  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) ) )
169158, 78, 168rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  B  ( F `  n )  =  y  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
170157, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
171147, 154, 170syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
172146, 171pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  B  =  NN )  /\  y  e.  ( Y  u.  { (/) } ) )  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
173172ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  A. y  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) )
174118, 173jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  ( A : NN --> ( Y  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
175 dffo3 6052 . . . . . . . 8  |-  ( A : NN -onto-> ( Y  u.  { (/) } )  <-> 
( A : NN --> ( Y  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( Y  u.  { (/)
} ) E. n  e.  NN  y  =  ( A `  n ) ) )
176174, 175sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  A : NN -onto-> ( Y  u.  {
(/) } ) )
177 founiiun 37517 . . . . . . 7  |-  ( A : NN -onto-> ( Y  u.  { (/) } )  ->  U. ( Y  u.  {
(/) } )  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
178176, 177syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  U. ( Y  u.  { (/) } )  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )
179117, 178eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  NN )  ->  U. Y  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )
180111, 179pm2.61dan 808 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. Y  =  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
181180fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  U. Y )  =  ( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
182 uncom 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN  \  B )  u.  B )  =  ( B  u.  ( NN  \  B ) )
183182a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( NN  \  B )  u.  B
)  =  ( B  u.  ( NN  \  B ) ) )
184 undif 3839 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  NN  <->  ( B  u.  ( NN  \  B ) )  =  NN )
185119, 184sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ( NN  \  B ) )  =  NN )
186183, 185eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( NN  \  B )  u.  B
)  =  NN )
187186eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( NN  \  B )  u.  B ) )
188187mpteq1d 4477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( ( NN 
\  B )  u.  B )  |->  ( O `
 ( A `  n ) ) ) )
189188fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( ( NN  \  B )  u.  B )  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) )
190 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ n ph
191 difexg 4545 . . . . . . 7  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( NN  \  B )  e. 
_V )
19232, 191ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( NN 
\  B )  e. 
_V
193192a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( NN  \  B
)  e.  _V )
19432a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
195194, 119ssexd 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
196 incom 3616 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  \  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( NN  \  B ) )
197 disjdif 3830 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ( NN  \  B ) )  =  (/)
198196, 197eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( ( NN  \  B )  i^i  B )  =  (/)
199198a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( NN  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
200 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ph )
201 eldifi 3544 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  B )  ->  n  e.  NN )
202201adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  n  e.  NN )
203 isomenndlem.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
204203adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
20531ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
~P X )
206204, 205ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O `
 ( A `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
207200, 202, 206syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( O `  ( A `  n
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
208159, 206syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
209190, 193, 195, 199, 207, 208sge0splitmpt 38367 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( ( NN  \  B
)  u.  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) +e (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) ) )
210 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  B  |->  ( O `
 ( A `  n ) ) )  =  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n ) ) )
211208, 210fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
212195, 211sge0xrcl 38341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) )  e. 
RR* )
213212xaddid2d 37629 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +e
(Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )
21487a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  if (
n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) )  e. 
_V )
215202, 214, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( A `  n )  =  if ( n  e.  B ,  ( F `  n ) ,  (/) ) )
216 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  B )  ->  -.  n  e.  B )
217216adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  -.  n  e.  B )
218217iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  if (
n  e.  B , 
( F `  n
) ,  (/) )  =  (/) )
219215, 218eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( A `  n )  =  (/) )
220219fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( O `  ( A `  n
) )  =  ( O `  (/) ) )
221 isomenndlem.o0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
222200, 221syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
223220, 222eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  B ) )  ->  ( O `  ( A `  n
) )  =  0 )
224223mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  ( NN 
\  B )  |->  0 ) )
225224fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  0 ) ) )
226190, 193sge0z 38331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  0 ) )  =  0 )
227225, 226eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) )  =  0 )
228227oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) +e (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )  =  ( 0 +e (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) ) )
229203, 25feqresmpt 5933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O  |`  Y )  =  ( y  e.  Y  |->  ( O `  y ) ) )
230229fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) )  =  (Σ^ `  ( y  e.  Y  |->  ( O `  y
) ) ) )
231 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ y
ph
232 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A `  n )  ->  ( O `  y )  =  ( O `  ( A `  n ) ) )
233162eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  B )  ->  ( F `  n )  =  ( A `  n ) )
234203adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
23525sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  ~P X )
236234, 235ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( O `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
237231, 190, 232, 195, 4, 233, 236sge0f1o 38338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  Y  |->  ( O `  y
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )
238 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )
239230, 237, 2383eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )
240213, 228, 2393eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( NN  \  B ) 
|->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) +e (Σ^ `  ( n  e.  B  |->  ( O `  ( A `  n )
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) ) )
241189, 209, 2403eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) )
242181, 241breq12d 4408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  U. Y )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) )  <-> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( A `
 n ) ) ) ) ) )
24349, 242mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( O `  U. Y )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390    C. wpss 3391   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690    <_ cle 9694   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
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