Theorem isomenndlem 38470

Description: O is sub-additive w.r.t. countable indexed union, implies that O is sub-additive w.r.t. countable union. Thus, the definition of Outer Measure can be given using an indexed union. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomenndlem.o	|- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
isomenndlem.o0	|- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
isomenndlem.y	|- ( ph -> Y C_ ~P X )
isomenndlem.subadd	|- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
isomenndlem.b	|- ( ph -> B C_ NN )
isomenndlem.f	|- ( ph -> F : B -1-1-onto-> Y )
isomenndlem.a	|- A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )

Assertion

Ref	Expression
isomenndlem	|- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, n   B, n   n, F   O, a, n   X, a   n, Y   ph, a, n

Allowed substitution hints:   B( a)   F( a)   X( n)   Y( a)

Proof of Theorem isomenndlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( ph -> ph )
2		iftrue 3878	. . . . . . . . 9 |- ( n e. B -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
3	2	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
4		isomenndlem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : B -1-1-onto-> Y )
5		f1of 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : B -1-1-onto-> Y -> F : B --> Y )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : B --> Y )
7		ssun1 3588	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ ( Y u. { (/) } )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ ( Y u. { (/) } ) )
9	6, 8	fssd 5750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : B --> ( Y u. { (/) } ) )
10	9	ffvelrnda 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( F ` n ) e. ( Y u. { (/) } ) )
11	3, 10	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
12	11	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
13		iffalse 3881	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. B -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
14	13	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
15		0ex 4528	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
16	15	snid 3988	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
17		elun2 3593	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. { (/) } -> (/) e. ( Y u. { (/) } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( Y u. { (/) } )
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> (/) e. ( Y u. { (/) } ) )
20	14, 19	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
21	20	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
22	12, 21	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
23		isomenndlem.a	. . . . 5 |- A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
24	22, 23	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> A : NN --> ( Y u. { (/) } ) )
25		isomenndlem.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ ~P X )
26		0elpw 4570	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P X
27		snssi 4107	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ~P X -> { (/) } C_ ~P X )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { (/) } C_ ~P X
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { (/) } C_ ~P X )
30	25, 29	unssd 3601	. . . 4 |- ( ph -> ( Y u. { (/) } ) C_ ~P X )
31	24, 30	fssd 5750	. . 3 |- ( ph -> A : NN --> ~P X )
32		nnex 10637	. . . . . 6 |- NN e. _V
33	32	mptex 6152	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) e. _V
34	23, 33	eqeltri 2545	. . . 4 |- A e. _V
35		feq1 5720	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( a : NN --> ~P X <-> A : NN --> ~P X ) )
36	35	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) <-> ( ph /\ A : NN --> ~P X ) ) )
37		fveq1 5878	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( a ` n ) = ( A ` n ) )
38	37	iuneq2d 4296	. . . . . . 7 |- ( a = A -> U_ n e. NN ( a ` n ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
39	38	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) = ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
40		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> a = A )
41	40	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> ( a ` n ) = ( A ` n ) )
42	41	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> ( O ` ( a ` n ) ) = ( O ` ( A ` n ) ) )
43	42	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) )
44	43	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( a = A -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
45	39, 44	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) <-> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
46	36, 45	imbi12d 327	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) ) )
47		isomenndlem.subadd	. . . 4 |- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
48	34, 46, 47	vtocl 3086	. . 3 |- ( ( ph /\ A : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
49	1, 31, 48	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
50	6	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> F : B --> Y )
51		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> n e. NN )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = NN -> B = NN )
53	52	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = NN -> NN = B )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> NN = B )
55	51, 54	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> n e. B )
56	55	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> n e. B )
57	50, 56	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. Y )
58		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) = ( n e. NN |-> ( F ` n ) )
59	57, 58	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y )
60	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = NN -> A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) )
61	55	iftrued 3880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
62	61	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = NN -> ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) = ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) )
63	60, 62	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = NN -> A = ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) )
64	63	feq1d 5724	. . . . . . . . . 10 |- ( B = NN -> ( A : NN --> Y <-> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y ) )
65	64	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( A : NN --> Y <-> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y ) )
66	59, 65	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A : NN --> Y )
67		f1ofo 5835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : B -1-1-onto-> Y -> F : B -onto-> Y )
68	4, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : B -onto-> Y )
69		dffo3 6052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : B -onto-> Y <-> ( F : B --> Y /\ A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) ) )
70	68, 69	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F : B --> Y /\ A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) ) )
71	70	simprd 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) )
72	71	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) )
73		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
74		rspa 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
76	75	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
77		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ B = NN )
78		nfre1 2846	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n E. n e. NN y = ( A ` n )
79		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> n e. B )
80		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> B = NN )
81	79, 80	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> n e. NN )
82	81	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B ) -> n e. NN )
83	82	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> n e. NN )
84	60	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = NN -> ( A ` n ) = ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) )
85	84	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( A ` n ) = ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) )
86		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` n ) e. _V
87	86, 15	ifex 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
89		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
90	89	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. NN /\ if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
91	81, 88, 90	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
92	2	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
93	91, 92	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
94	93	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( F ` n ) -> y = ( F ` n ) )
96	95	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( F ` n ) -> ( F ` n ) = y )
97	96	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) = y )
98	85, 94, 97	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> y = ( A ` n ) )
99	98	3adant1l 1284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> y = ( A ` n ) )
100		rspe 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ y = ( A ` n ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
101	83, 99, 100	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
102	101	3exp 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( n e. B -> ( y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
103	77, 78, 102	rexlimd 2866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( E. n e. B y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
104	103	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> ( E. n e. B y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
105	76, 104	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
106	105	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) )
107	66, 106	jca 541	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( A : NN --> Y /\ A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
108		dffo3 6052	. . . . . . 7 |- ( A : NN -onto-> Y <-> ( A : NN --> Y /\ A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
109	107, 108	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A : NN -onto-> Y )
110		founiiun 37517	. . . . . 6 |- ( A : NN -onto-> Y -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
111	109, 110	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
112		uniun 4209	. . . . . . . 8 |- U. ( Y u. { (/) } ) = ( U. Y u. U. { (/) } )
113	15	unisn 4205	. . . . . . . . 9 |- U. { (/) } = (/)
114	113	uneq2i 3576	. . . . . . . 8 |- ( U. Y u. U. { (/) } ) = ( U. Y u. (/) )
115		un0 3762	. . . . . . . 8 |- ( U. Y u. (/) ) = U. Y
116	112, 114, 115	3eqtrri 2498	. . . . . . 7 |- U. Y = U. ( Y u. { (/) } )
117	116	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. Y = U. ( Y u. { (/) } ) )
118	24	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A : NN --> ( Y u. { (/) } ) )
119		isomenndlem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B C_ NN )
120	119	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B C_ NN )
121	52	necon3bi 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. B = NN -> B =/= NN )
122	121	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B =/= NN )
123	120, 122	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> ( B C_ NN /\ B =/= NN ) )
124		df-pss 3406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B C. NN <-> ( B C_ NN /\ B =/= NN ) )
125	123, 124	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B C. NN )
126		pssnel 3829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C. NN -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
128	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
129		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) )
130		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> n e. NN )
131		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> n e. NN )
132	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
133	23	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. NN /\ if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
134	131, 132, 133	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
135	134	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
136	13	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
137		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = (/) -> y = (/) )
138	137	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> (/) = y )
139	138	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> (/) = y )
140	135, 136, 139	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> y = ( A ` n ) )
141	130, 140, 100	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
142	141	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
143	142	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> ( ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
144	129, 78, 143	exlimd 2017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> ( E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
145	128, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
146	145	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
147		simplll 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> ph )
148		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> y e. ( Y u. { (/) } ) )
149		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
150	149	con3i 142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. y = (/) -> -. y e. { (/) } )
151	150	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> -. y e. { (/) } )
152		elunnel2 37423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y e. { (/) } ) -> y e. Y )
153	148, 151, 152	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> y e. Y )
154	153	adantll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> y e. Y )
155	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> F : B -onto-> Y )
156		foelrni 5927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : B -onto-> Y /\ y e. Y ) -> E. n e. B ( F ` n ) = y )
157	155, 73, 156	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. B ( F ` n ) = y )
158		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ y e. Y )
159	119	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> n e. NN )
160	159	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> n e. NN )
161	159, 87, 133	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
162	161, 3	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( A ` n ) = ( F ` n ) )
163	162	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> ( A ` n ) = ( F ` n ) )
164		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> ( F ` n ) = y )
165	163, 164	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> y = ( A ` n ) )
166	160, 165, 100	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
167	166	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. B -> ( ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
168	167	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( n e. B -> ( ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
169	158, 78, 168	rexlimd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( E. n e. B ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
170	157, 169	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
171	147, 154, 170	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
172	146, 171	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
173	172	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) )
174	118, 173	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> ( A : NN --> ( Y u. { (/) } ) /\ A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
175		dffo3 6052	. . . . . . . 8 |- ( A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) <-> ( A : NN --> ( Y u. { (/) } ) /\ A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
176	174, 175	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) )
177		founiiun 37517	. . . . . . 7 |- ( A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) -> U. ( Y u. { (/) } ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
178	176, 177	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. ( Y u. { (/) } ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
179	117, 178	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
180	111, 179	pm2.61dan 808	. . . 4 |- ( ph -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
181	180	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ph -> ( O ` U. Y ) = ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
182		uncom 3569	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN \ B ) u. B ) = ( B u. ( NN \ B ) )
183	182	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) u. B ) = ( B u. ( NN \ B ) ) )
184		undif 3839	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ NN <-> ( B u. ( NN \ B ) ) = NN )
185	119, 184	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B u. ( NN \ B ) ) = NN )
186	183, 185	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) u. B ) = NN )
187	186	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> NN = ( ( NN \ B ) u. B ) )
188	187	mpteq1d 4477	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) )
189	188	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
190		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ n ph
191		difexg 4545	. . . . . . 7 |- ( NN e. _V -> ( NN \ B ) e. _V )
192	32, 191	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( NN \ B ) e. _V
193	192	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN \ B ) e. _V )
194	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
195	194, 119	ssexd 4543	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
196		incom 3616	. . . . . . 7 |- ( ( NN \ B ) i^i B ) = ( B i^i ( NN \ B ) )
197		disjdif 3830	. . . . . . 7 |- ( B i^i ( NN \ B ) ) = (/)
198	196, 197	eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( ( NN \ B ) i^i B ) = (/)
199	198	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) i^i B ) = (/) )
200		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ph )
201		eldifi 3544	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ B ) -> n e. NN )
202	201	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> n e. NN )
203		isomenndlem.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
204	203	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
205	31	ffvelrnda 6037	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P X )
206	204, 205	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
207	200, 202, 206	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
208	159, 206	syldan 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
209	190, 193, 195, 199, 207, 208	sge0splitmpt 38367	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
210		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) )
211	208, 210	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
212	195, 211	sge0xrcl 38341	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
213	212	xaddid2d 37629	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
214	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
215	202, 214, 133	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
216		eldifn 3545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ B ) -> -. n e. B )
217	216	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> -. n e. B )
218	217	iffalsed 3883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
219	215, 218	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( A ` n ) = (/) )
220	219	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) = ( O ` (/) ) )
221		isomenndlem.o0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
222	200, 221	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` (/) ) = 0 )
223	220, 222	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) = 0 )
224	223	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) )
225	224	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) ) )
226	190, 193	sge0z 38331	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) ) = 0 )
227	225, 226	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = 0 )
228	227	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = ( 0 +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
229	203, 25	feqresmpt 5933	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( O |` Y ) = ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) )
230	229	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) ) )
231		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ y ph
232		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( y = ( A ` n ) -> ( O ` y ) = ( O ` ( A ` n ) ) )
233	162	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( F ` n ) = ( A ` n ) )
234	203	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
235	25	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. ~P X )
236	234, 235	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( O ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
237	231, 190, 232, 195, 4, 233, 236	sge0f1o 38338	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
238		eqidd 2472	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
239	230, 237, 238	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
240	213, 228, 239	3eqtr4d 2515	. . . 4 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )
241	189, 209, 240	3eqtrrd 2510	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
242	181, 241	breq12d 4408	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) <-> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
243	49, 242	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   C. wpss 3391   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   |` cres 4841   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   <_ cle 9694   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  isomennd  38471