Theorem isomenndlem 38259

Description: O is sub-additive w.r.t. countable indexed union, implies that O is sub-additive w.r.t. countable union. Thus, the definition of Outer Measure can be given using an indexed union. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomenndlem.o	|- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
isomenndlem.o0	|- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
isomenndlem.y	|- ( ph -> Y C_ ~P X )
isomenndlem.subadd	|- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
isomenndlem.b	|- ( ph -> B C_ NN )
isomenndlem.f	|- ( ph -> F : B -1-1-onto-> Y )
isomenndlem.a	|- A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )

Assertion

Ref	Expression
isomenndlem	|- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, n   B, n   n, F   O, a, n   X, a   n, Y   ph, a, n

Allowed substitution hints:   B( a)   F( a)   X( n)   Y( a)

Proof of Theorem isomenndlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( ph -> ph )
2		iftrue 3917	. . . . . . . . 9 |- ( n e. B -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
3	2	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
4		isomenndlem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : B -1-1-onto-> Y )
5		f1of 5831	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : B -1-1-onto-> Y -> F : B --> Y )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : B --> Y )
7		ssun1 3629	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ ( Y u. { (/) } )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ ( Y u. { (/) } ) )
9	6, 8	fssd 5755	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : B --> ( Y u. { (/) } ) )
10	9	ffvelrnda 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( F ` n ) e. ( Y u. { (/) } ) )
11	3, 10	eqeltrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
12	11	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
13		iffalse 3920	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. B -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
14	13	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
15		0ex 4556	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
16	15	snid 4026	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
17		elun2 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. { (/) } -> (/) e. ( Y u. { (/) } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( Y u. { (/) } )
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> (/) e. ( Y u. { (/) } ) )
20	14, 19	eqeltrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
21	20	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
22	12, 21	pm2.61dan 798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. ( Y u. { (/) } ) )
23		isomenndlem.a	. . . . 5 |- A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
24	22, 23	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> A : NN --> ( Y u. { (/) } ) )
25		isomenndlem.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ ~P X )
26		0elpw 4593	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P X
27		snssi 4144	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ~P X -> { (/) } C_ ~P X )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { (/) } C_ ~P X
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { (/) } C_ ~P X )
30	25, 29	unssd 3642	. . . 4 |- ( ph -> ( Y u. { (/) } ) C_ ~P X )
31	24, 30	fssd 5755	. . 3 |- ( ph -> A : NN --> ~P X )
32		nnex 10622	. . . . . 6 |- NN e. _V
33	32	mptex 6151	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) e. _V
34	23, 33	eqeltri 2503	. . . 4 |- A e. _V
35		feq1 5728	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( a : NN --> ~P X <-> A : NN --> ~P X ) )
36	35	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) <-> ( ph /\ A : NN --> ~P X ) ) )
37		fveq1 5880	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( a ` n ) = ( A ` n ) )
38	37	iuneq2d 4326	. . . . . . 7 |- ( a = A -> U_ n e. NN ( a ` n ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
39	38	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) = ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
40		simpl 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> a = A )
41	40	fveq1d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> ( a ` n ) = ( A ` n ) )
42	41	fveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ n e. NN ) -> ( O ` ( a ` n ) ) = ( O ` ( A ` n ) ) )
43	42	mpteq2dva 4510	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) )
44	43	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( a = A -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
45	39, 44	breq12d 4436	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) <-> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
46	36, 45	imbi12d 321	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) ) )
47		isomenndlem.subadd	. . . 4 |- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
48	34, 46, 47	vtocl 3133	. . 3 |- ( ( ph /\ A : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
49	1, 31, 48	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
50	6	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> F : B --> Y )
51		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> n e. NN )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = NN -> B = NN )
53	52	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = NN -> NN = B )
54	53	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> NN = B )
55	51, 54	eleqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> n e. B )
56	55	adantll 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> n e. B )
57	50, 56	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. Y )
58		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) = ( n e. NN |-> ( F ` n ) )
59	57, 58	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y )
60	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = NN -> A = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) )
61	55	iftrued 3919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B = NN /\ n e. NN ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
62	61	mpteq2dva 4510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = NN -> ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) = ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) )
63	60, 62	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = NN -> A = ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) )
64	63	feq1d 5732	. . . . . . . . . 10 |- ( B = NN -> ( A : NN --> Y <-> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y ) )
65	64	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( A : NN --> Y <-> ( n e. NN |-> ( F ` n ) ) : NN --> Y ) )
66	59, 65	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A : NN --> Y )
67		f1ofo 5838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : B -1-1-onto-> Y -> F : B -onto-> Y )
68	4, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : B -onto-> Y )
69		dffo3 6052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : B -onto-> Y <-> ( F : B --> Y /\ A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) ) )
70	68, 69	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F : B --> Y /\ A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) ) )
71	70	simprd 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) )
73		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
74		rspa 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. Y E. n e. B y = ( F ` n ) /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
76	75	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> E. n e. B y = ( F ` n ) )
77		nfv 1755	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ B = NN )
78		nfre1 2883	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n E. n e. NN y = ( A ` n )
79		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> n e. B )
80		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> B = NN )
81	79, 80	eleqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> n e. NN )
82	81	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B ) -> n e. NN )
83	82	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> n e. NN )
84	60	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = NN -> ( A ` n ) = ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) )
85	84	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( A ` n ) = ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) )
86		fvex 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` n ) e. _V
87	86, 15	ifex 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
89		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
90	89	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. NN /\ if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
91	81, 88, 90	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
92	2	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = ( F ` n ) )
93	91, 92	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B = NN /\ n e. B ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
94	93	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( F ` n ) -> y = ( F ` n ) )
96	95	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( F ` n ) -> ( F ` n ) = y )
97	96	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) = y )
98	85, 94, 97	3eqtrrd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B = NN /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> y = ( A ` n ) )
99	98	3adant1l 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> y = ( A ` n ) )
100		rspe 2880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ y = ( A ` n ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
101	83, 99, 100	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ n e. B /\ y = ( F ` n ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
102	101	3exp 1204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( n e. B -> ( y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
103	77, 78, 102	rexlimd 2906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( E. n e. B y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
104	103	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> ( E. n e. B y = ( F ` n ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
105	76, 104	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B = NN ) /\ y e. Y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
106	105	ralrimiva 2836	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) )
107	66, 106	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> ( A : NN --> Y /\ A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
108		dffo3 6052	. . . . . . 7 |- ( A : NN -onto-> Y <-> ( A : NN --> Y /\ A. y e. Y E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
109	107, 108	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> A : NN -onto-> Y )
110		founiiun 37407	. . . . . 6 |- ( A : NN -onto-> Y -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
111	109, 110	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = NN ) -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
112		uniun 4238	. . . . . . . 8 |- U. ( Y u. { (/) } ) = ( U. Y u. U. { (/) } )
113	15	unisn 4234	. . . . . . . . 9 |- U. { (/) } = (/)
114	113	uneq2i 3617	. . . . . . . 8 |- ( U. Y u. U. { (/) } ) = ( U. Y u. (/) )
115		un0 3789	. . . . . . . 8 |- ( U. Y u. (/) ) = U. Y
116	112, 114, 115	3eqtrri 2456	. . . . . . 7 |- U. Y = U. ( Y u. { (/) } )
117	116	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. Y = U. ( Y u. { (/) } ) )
118	24	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A : NN --> ( Y u. { (/) } ) )
119		isomenndlem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B C_ NN )
120	119	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B C_ NN )
121	52	necon3bi 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. B = NN -> B =/= NN )
122	121	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B =/= NN )
123	120, 122	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> ( B C_ NN /\ B =/= NN ) )
124		df-pss 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B C. NN <-> ( B C_ NN /\ B =/= NN ) )
125	123, 124	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> B C. NN )
126		pssnel 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C. NN -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
128	127	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) )
129		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) )
130		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> n e. NN )
131		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> n e. NN )
132	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
133	23	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. NN /\ if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
134	131, 132, 133	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
135	134	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
136	13	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
137		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = (/) -> y = (/) )
138	137	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> (/) = y )
139	138	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> (/) = y )
140	135, 136, 139	3eqtrrd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> y = ( A ` n ) )
141	130, 140, 100	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y = (/) ) /\ ( n e. NN /\ -. n e. B ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
142	141	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
143	142	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> ( ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
144	129, 78, 143	exlimd 1974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> ( E. n ( n e. NN /\ -. n e. B ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
145	128, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
146	145	adantlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
147		simplll 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> ph )
148		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> y e. ( Y u. { (/) } ) )
149		elsni 4023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
150	149	con3i 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. y = (/) -> -. y e. { (/) } )
151	150	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> -. y e. { (/) } )
152		elunnel2 37333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y e. { (/) } ) -> y e. Y )
153	148, 151, 152	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( Y u. { (/) } ) /\ -. y = (/) ) -> y e. Y )
154	153	adantll 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> y e. Y )
155	68	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> F : B -onto-> Y )
156		foelrni 5929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : B -onto-> Y /\ y e. Y ) -> E. n e. B ( F ` n ) = y )
157	155, 73, 156	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. B ( F ` n ) = y )
158		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ y e. Y )
159	119	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> n e. NN )
160	159	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> n e. NN )
161	159, 87, 133	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
162	161, 3	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( A ` n ) = ( F ` n ) )
163	162	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> ( A ` n ) = ( F ` n ) )
164		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> ( F ` n ) = y )
165	163, 164	eqtr2d 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> y = ( A ` n ) )
166	160, 165, 100	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. B /\ ( F ` n ) = y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
167	166	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. B -> ( ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
168	167	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( n e. B -> ( ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) ) )
169	158, 78, 168	rexlimd 2906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( E. n e. B ( F ` n ) = y -> E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
170	157, 169	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
171	147, 154, 170	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) /\ -. y = (/) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
172	146, 171	pm2.61dan 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. B = NN ) /\ y e. ( Y u. { (/) } ) ) -> E. n e. NN y = ( A ` n ) )
173	172	ralrimiva 2836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) )
174	118, 173	jca 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> ( A : NN --> ( Y u. { (/) } ) /\ A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
175		dffo3 6052	. . . . . . . 8 |- ( A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) <-> ( A : NN --> ( Y u. { (/) } ) /\ A. y e. ( Y u. { (/) } ) E. n e. NN y = ( A ` n ) ) )
176	174, 175	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) )
177		founiiun 37407	. . . . . . 7 |- ( A : NN -onto-> ( Y u. { (/) } ) -> U. ( Y u. { (/) } ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
178	176, 177	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. ( Y u. { (/) } ) = U_ n e. NN ( A ` n ) )
179	117, 178	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. B = NN ) -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
180	111, 179	pm2.61dan 798	. . . 4 |- ( ph -> U. Y = U_ n e. NN ( A ` n ) )
181	180	fveq2d 5885	. . 3 |- ( ph -> ( O ` U. Y ) = ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
182		uncom 3610	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN \ B ) u. B ) = ( B u. ( NN \ B ) )
183	182	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) u. B ) = ( B u. ( NN \ B ) ) )
184		undif 3878	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ NN <-> ( B u. ( NN \ B ) ) = NN )
185	119, 184	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B u. ( NN \ B ) ) = NN )
186	183, 185	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) u. B ) = NN )
187	186	eqcomd 2430	. . . . . 6 |- ( ph -> NN = ( ( NN \ B ) u. B ) )
188	187	mpteq1d 4505	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) )
189	188	fveq2d 5885	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
190		nfv 1755	. . . . 5 |- F/ n ph
191		difexg 4572	. . . . . . 7 |- ( NN e. _V -> ( NN \ B ) e. _V )
192	32, 191	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( NN \ B ) e. _V
193	192	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN \ B ) e. _V )
194	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
195	194, 119	ssexd 4571	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
196		incom 3655	. . . . . . 7 |- ( ( NN \ B ) i^i B ) = ( B i^i ( NN \ B ) )
197		disjdif 3869	. . . . . . 7 |- ( B i^i ( NN \ B ) ) = (/)
198	196, 197	eqtri 2451	. . . . . 6 |- ( ( NN \ B ) i^i B ) = (/)
199	198	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( NN \ B ) i^i B ) = (/) )
200		simpl 458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ph )
201		eldifi 3587	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ B ) -> n e. NN )
202	201	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> n e. NN )
203		isomenndlem.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
204	203	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
205	31	ffvelrnda 6037	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P X )
206	204, 205	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
207	200, 202, 206	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
208	159, 206	syldan 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( O ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
209	190, 193, 195, 199, 207, 208	sge0splitmpt 38161	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( ( NN \ B ) u. B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
210		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) )
211	208, 210	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
212	195, 211	sge0xrcl 38135	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
213	212	xaddid2d 37495	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
214	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) e. _V )
215	202, 214, 133	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( A ` n ) = if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) )
216		eldifn 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ B ) -> -. n e. B )
217	216	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> -. n e. B )
218	217	iffalsed 3922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> if ( n e. B , ( F ` n ) , (/) ) = (/) )
219	215, 218	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( A ` n ) = (/) )
220	219	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) = ( O ` (/) ) )
221		isomenndlem.o0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
222	200, 221	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` (/) ) = 0 )
223	220, 222	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ B ) ) -> ( O ` ( A ` n ) ) = 0 )
224	223	mpteq2dva 4510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) )
225	224	fveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) ) )
226	190, 193	sge0z 38125	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> 0 ) ) = 0 )
227	225, 226	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = 0 )
228	227	oveq1d 6320	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = ( 0 +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
229	203, 25	feqresmpt 5935	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( O |` Y ) = ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) )
230	229	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) ) )
231		nfv 1755	. . . . . . 7 |- F/ y ph
232		fveq2 5881	. . . . . . 7 |- ( y = ( A ` n ) -> ( O ` y ) = ( O ` ( A ` n ) ) )
233	162	eqcomd 2430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. B ) -> ( F ` n ) = ( A ` n ) )
234	203	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
235	25	sselda 3464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. ~P X )
236	234, 235	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( O ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
237	231, 190, 232, 195, 4, 233, 236	sge0f1o 38132	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. Y |-> ( O ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
238		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
239	230, 237, 238	3eqtrd 2467	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
240	213, 228, 239	3eqtr4d 2473	. . . 4 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. ( NN \ B ) |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. B |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )
241	189, 209, 240	3eqtrrd 2468	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( O |` Y ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) )
242	181, 241	breq12d 4436	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) <-> ( O ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( A ` n ) ) ) ) ) )
243	49, 242	mpbird 235	1 |- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   C. wpss 3437   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   U_ciun 4299   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   |` cres 4855   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9546   +oocpnf 9679   <_ cle 9683   NNcn 10616   +ecxad 11414   [,]cicc 11645  Σ^{^}csumge0 38112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-sumge0 38113

This theorem is referenced by:  isomennd  38260