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Theorem isomenndlem 38470
 Description: is sub-additive w.r.t. countable indexed union, implies that is sub-additive w.r.t. countable union. Thus, the definition of Outer Measure can be given using an indexed union. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomenndlem.o
isomenndlem.o0
isomenndlem.y
isomenndlem.b
isomenndlem.f
isomenndlem.a
Assertion
Ref Expression
isomenndlem Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem isomenndlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3
2 iftrue 3878 . . . . . . . . 9
32adantl 473 . . . . . . . 8
4 isomenndlem.f . . . . . . . . . . 11
5 f1of 5828 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
7 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11
87a1i 11 . . . . . . . . . 10
96, 8fssd 5750 . . . . . . . . 9
109ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
113, 10eqeltrd 2549 . . . . . . 7
1211adantlr 729 . . . . . 6
13 iffalse 3881 . . . . . . . . 9
1413adantl 473 . . . . . . . 8
15 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11
1615snid 3988 . . . . . . . . . 10
17 elun2 3593 . . . . . . . . . 10
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1918a1i 11 . . . . . . . 8
2014, 19eqeltrd 2549 . . . . . . 7
2120adantlr 729 . . . . . 6
2212, 21pm2.61dan 808 . . . . 5
23 isomenndlem.a . . . . 5
2422, 23fmptd 6061 . . . 4
25 isomenndlem.y . . . . 5
26 0elpw 4570 . . . . . . 7
27 snssi 4107 . . . . . . 7
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
3025, 29unssd 3601 . . . 4
3124, 30fssd 5750 . . 3
32 nnex 10637 . . . . . 6
3332mptex 6152 . . . . 5
3423, 33eqeltri 2545 . . . 4
35 feq1 5720 . . . . . 6
3635anbi2d 718 . . . . 5
37 fveq1 5878 . . . . . . . 8
3837iuneq2d 4296 . . . . . . 7
3938fveq2d 5883 . . . . . 6
40 simpl 464 . . . . . . . . . 10
4140fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
4241fveq2d 5883 . . . . . . . 8
4342mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
4443fveq2d 5883 . . . . . 6 Σ^ Σ^
4539, 44breq12d 4408 . . . . 5 Σ^ Σ^
4636, 45imbi12d 327 . . . 4 Σ^ Σ^
47 isomenndlem.subadd . . . 4 Σ^
4834, 46, 47vtocl 3086 . . 3 Σ^
491, 31, 48syl2anc 673 . 2 Σ^
506ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 54eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12
5655adantll 728 . . . . . . . . . . 11
5750, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
5957, 58fmptd 6061 . . . . . . . . 9
6023a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6155iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . 13
6261mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12
6360, 62eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
6463feq1d 5724 . . . . . . . . . 10
6564adantl 473 . . . . . . . . 9
6659, 65mpbird 240 . . . . . . . 8
67 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
684, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 dffo3 6052 . . . . . . . . . . . . . . 15
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
7170simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
74 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12
7572, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
7675adantlr 729 . . . . . . . . . 10
77 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
78 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . 12
79 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
83823adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14
8460fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85843ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786, 15ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9089fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9181, 88, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
922adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9391, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
94933adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
97963ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9885, 94, 973eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15
99983adant1l 1284 . . . . . . . . . . . . . 14
100 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . 14
10183, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
1021013exp 1230 . . . . . . . . . . . 12
10377, 78, 102rexlimd 2866 . . . . . . . . . . 11
104103adantr 472 . . . . . . . . . 10
10576, 104mpd 15 . . . . . . . . 9
106105ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
10766, 106jca 541 . . . . . . 7
108 dffo3 6052 . . . . . . 7
109107, 108sylibr 217 . . . . . 6
110 founiiun 37517 . . . . . 6
111109, 110syl 17 . . . . 5
112 uniun 4209 . . . . . . . 8
11315unisn 4205 . . . . . . . . 9
114113uneq2i 3576 . . . . . . . 8
115 un0 3762 . . . . . . . 8
116112, 114, 1153eqtrri 2498 . . . . . . 7
117116a1i 11 . . . . . 6
11824adantr 472 . . . . . . . . 9
119 isomenndlem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12152necon3bi 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123120, 122jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 df-pss 3406 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 pssnel 3829 . . . . . . . . . . . . . . 15
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
129 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
130 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13287a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13323fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134131, 132, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13613ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138137eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140135, 136, 1393eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141130, 140, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
144129, 78, 143exlimd 2017 . . . . . . . . . . . . 13
145128, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
146145adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
147 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12
148 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14
149 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150149con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . 15
151150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
152 elunnel2 37423 . . . . . . . . . . . . . 14
153148, 151, 152syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
154153adantll 728 . . . . . . . . . . . 12
15568adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
156 foelrni 5927 . . . . . . . . . . . . . 14
157155, 73, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
158 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
159119sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1601593adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161159, 87, 133sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162161, 3eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1631623adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165163, 164eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166160, 165, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1671663exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
169158, 78, 168rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . . 13
170157, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
171147, 154, 170syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
172146, 171pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10
173172ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
174118, 173jca 541 . . . . . . . 8
175 dffo3 6052 . . . . . . . 8
176174, 175sylibr 217 . . . . . . 7
177 founiiun 37517 . . . . . . 7
178176, 177syl 17 . . . . . 6
179117, 178eqtrd 2505 . . . . 5
180111, 179pm2.61dan 808 . . . 4
181180fveq2d 5883 . . 3
182 uncom 3569 . . . . . . . . 9
183182a1i 11 . . . . . . . 8
184 undif 3839 . . . . . . . . 9
185119, 184sylib 201 . . . . . . . 8
186183, 185eqtrd 2505 . . . . . . 7
187186eqcomd 2477 . . . . . 6
188187mpteq1d 4477 . . . . 5
189188fveq2d 5883 . . . 4 Σ^ Σ^
190 nfv 1769 . . . . 5
191 difexg 4545 . . . . . . 7
19232, 191ax-mp 5 . . . . . 6
193192a1i 11 . . . . 5
19432a1i 11 . . . . . 6
195194, 119ssexd 4543 . . . . 5
196 incom 3616 . . . . . . 7
197 disjdif 3830 . . . . . . 7
198196, 197eqtri 2493 . . . . . 6
199198a1i 11 . . . . 5
200 simpl 464 . . . . . 6
201 eldifi 3544 . . . . . . 7
202201adantl 473 . . . . . 6
203 isomenndlem.o . . . . . . . 8
204203adantr 472 . . . . . . 7
20531ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
206204, 205ffvelrnd 6038 . . . . . 6
207200, 202, 206syl2anc 673 . . . . 5
208159, 206syldan 478 . . . . 5
209190, 193, 195, 199, 207, 208sge0splitmpt 38367 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
210 eqid 2471 . . . . . . . 8
211208, 210fmptd 6061 . . . . . . 7
212195, 211sge0xrcl 38341 . . . . . 6 Σ^
213212xaddid2d 37629 . . . . 5 Σ^ Σ^
21487a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
215202, 214, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
216 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . 14
217216adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
218217iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . 12
219215, 218eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
220219fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
221 isomenndlem.o0 . . . . . . . . . . 11
222200, 221syl 17 . . . . . . . . . 10
223220, 222eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
224223mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
225224fveq2d 5883 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
226190, 193sge0z 38331 . . . . . . 7 Σ^
227225, 226eqtrd 2505 . . . . . 6 Σ^
228227oveq1d 6323 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^
229203, 25feqresmpt 5933 . . . . . . 7
230229fveq2d 5883 . . . . . 6 Σ^ Σ^
231 nfv 1769 . . . . . . 7
232 fveq2 5879 . . . . . . 7
233162eqcomd 2477 . . . . . . 7
234203adantr 472 . . . . . . . 8
23525sselda 3418 . . . . . . . 8
236234, 235ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
237231, 190, 232, 195, 4, 233, 236sge0f1o 38338 . . . . . 6 Σ^ Σ^
238 eqidd 2472 . . . . . 6 Σ^ Σ^
239230, 237, 2383eqtrd 2509 . . . . 5 Σ^ Σ^
240213, 228, 2393eqtr4d 2515 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
241189, 209, 2403eqtrrd 2510 . . 3 Σ^ Σ^
242181, 241breq12d 4408 . 2 Σ^ Σ^
24349, 242mpbird 240 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390   wpss 3391  c0 3722  cif 3872  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cres 4841  wf 5585  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557   cpnf 9690   cle 9694  cn 10631  cxad 11430  cicc 11663  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  isomennd  38471
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