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Theorem isomennd 38471
Description: Sufficient condition to prove that  O is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
isomennd.o  |-  ( ph  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
isomennd.o0  |-  ( ph  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
isomennd.le  |-  ( (
ph  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  x )
)
isomennd.sa  |-  ( (
ph  /\  a : NN
--> ~P X )  -> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isomennd  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
Distinct variable groups:    O, a, n, x    y, O, x    X, a    ph, a, n, x    ph, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, n, a)    X( x, y, n)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
2 id 22 . . . . . 6  |-  ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo )  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
3 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  O  =  ~P X
)
43feq2d 5725 . . . . . 6  |-  ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( O : dom  O --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) ) )
52, 4mpbird 240 . . . . 5  |-  ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo )  ->  O : dom  O --> ( 0 [,] +oo ) )
61, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  O : dom  O --> ( 0 [,] +oo ) )
7 unipw 4650 . . . . . . 7  |-  U. ~P X  =  X
87pweqi 3946 . . . . . 6  |-  ~P U. ~P X  =  ~P X
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ~P U. ~P X  =  ~P X )
101, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  O  =  ~P X )
1110unieqd 4200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  O  = 
U. ~P X )
1211pweqd 3947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  O  =  ~P U. ~P X
)
139, 12, 103eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  O  =  ~P U.
dom  O )
14 isomennd.o0 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
156, 13, 14jca31 543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O : dom  O --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  O  =  ~P U. dom  O
)  /\  ( O `  (/) )  =  0 ) )
16 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P U. dom  O  /\  y  e.  ~P x ) )  ->  ph )
17 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P U. dom  O )  ->  x  e.  ~P U.
dom  O )
1812, 9eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  O  =  ~P X )
1918adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P U. dom  O )  ->  ~P U. dom  O  =  ~P X )
2017, 19eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P U. dom  O )  ->  x  e.  ~P X )
21 elpwi 3951 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2220, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P U. dom  O )  ->  x  C_  X
)
2322adantrr 731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P U. dom  O  /\  y  e.  ~P x ) )  ->  x  C_  X )
24 elpwi 3951 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
2524adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P U. dom  O  /\  y  e. 
~P x )  -> 
y  C_  x )
2625adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P U. dom  O  /\  y  e.  ~P x ) )  -> 
y  C_  x )
27 isomennd.le . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  x )
)
2816, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P U. dom  O  /\  y  e.  ~P x ) )  -> 
( O `  y
)  <_  ( O `  x ) )
2928ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ~P  U.
dom  O A. y  e.  ~P  x ( O `
 y )  <_ 
( O `  x
) )
30 0le0 10721 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  0  <_  0 )
32 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
33 uni0 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (/)  =  (/)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
3532, 34eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O `
 U. x )  =  ( O `  (/) ) )
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( O `  U. x )  =  ( O `  (/) ) )
3814adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( O `  (/) )  =  0 )
3937, 38eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( O `  U. x )  =  0 )
40 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O  |`  x )  =  ( O  |`  (/) ) )
41 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  |`  (/) )  =  (/)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O  |`  (/) )  =  (/) )
4340, 42eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O  |`  x )  =  (/) )
4443fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( O  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (/) ) )
45 sge00 38332 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
4744, 46eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( O  |`  x
) )  =  0 )
4847adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  ( O  |`  x
) )  =  0 )
4939, 48breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) )  <->  0  <_  0 ) )
5031, 49mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( O `  U. x )  <_ 
(Σ^ `  ( O  |`  x
) ) )
5150ad4ant14 1259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =  (/) )  ->  ( O `
 U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) )
52 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )
)
53 neqne 2651 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =/=  (/) )
5453adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
55 ssnnf1octb 37541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. f
( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f
-1-1-onto-> x ) )
5655adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. f
( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f
-1-1-onto-> x ) )
571ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  ->  O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
5814ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  -> 
( O `  (/) )  =  0 )
59 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  ->  x  e.  ~P dom  O )
6010pweqd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P dom  O  =  ~P ~P X )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  ->  ~P dom  O  =  ~P ~P X )
6259, 61eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  ->  x  e.  ~P ~P X )
63 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ~P X  ->  x  C_  ~P X
)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  ->  x  C_  ~P X )
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  ->  x  C_  ~P X )
66 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  ->  ph )
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a : NN
--> ~P X )  -> 
( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
6866, 67sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  a : NN --> ~P X )  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
6968adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  /\  a : NN --> ~P X
)  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( a `  n
) )  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( O `  ( a `
 n ) ) ) ) )
70 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  ->  dom  f  C_  NN )
71 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  -> 
f : dom  f -1-1-onto-> x
)
72 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  dom  f  <->  n  e.  dom  f ) )
73 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
f `  m )  =  ( f `  n ) )
7472, 73ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  if ( m  e.  dom  f ,  ( f `  m ) ,  (/) )  =  if (
n  e.  dom  f ,  ( f `  n ) ,  (/) ) )
7574cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( m  e.  dom  f ,  ( f `  m ) ,  (/) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  dom  f ,  ( f `  n ) ,  (/) ) )
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 38470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x ) )  -> 
( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x ) ) )
7776ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  -> 
( ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x )  ->  ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) )
7877ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x
)  ->  ( O `  U. x )  <_ 
(Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) )
7978exlimdv 1787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. f ( dom  f  C_  NN  /\  f : dom  f -1-1-onto-> x )  ->  ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) )
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( O `
 U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) )
8152, 54, 80syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) )
8251, 81pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x ) ) )
8382ex 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  O )  -> 
( x  ~<_  om  ->  ( O `  U. x
)  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) )
8483ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ~P  dom  O ( x  ~<_  om 
->  ( O `  U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x ) ) ) )
8515, 29, 84jca31 543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( O : dom  O --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  O  =  ~P U. dom  O
)  /\  ( O `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  U. dom  O A. y  e.  ~P  x ( O `  y )  <_  ( O `  x )
)  /\  A. x  e.  ~P  dom  O ( x  ~<_  om  ->  ( O `
 U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) ) )
86 isomennd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
87 pwexg 4585 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
8886, 87syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  _V )
89 fex 6155 . . . 4  |-  ( ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo )  /\  ~P X  e. 
_V )  ->  O  e.  _V )
901, 88, 89syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
91 isome 38434 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e. OutMeas  <->  ( ( ( ( O : dom  O --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  O  =  ~P U. dom  O
)  /\  ( O `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  U. dom  O A. y  e.  ~P  x ( O `  y )  <_  ( O `  x )
)  /\  A. x  e.  ~P  dom  O ( x  ~<_  om  ->  ( O `
 U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) ) ) )
9290, 91syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( O  e. OutMeas  <->  ( (
( ( O : dom  O --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  O  =  ~P U. dom  O
)  /\  ( O `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  U. dom  O A. y  e.  ~P  x ( O `  y )  <_  ( O `  x )
)  /\  A. x  e.  ~P  dom  O ( x  ~<_  om  ->  ( O `
 U. x )  <_  (Σ^ `  ( O  |`  x
) ) ) ) ) )
9385, 92mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430
This theorem is referenced by:  ovnome  38513
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