Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isomennd 38471
 Description: Sufficient condition to prove that is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x
isomennd.o
isomennd.o0
isomennd.le
isomennd.sa Σ^
Assertion
Ref Expression
isomennd OutMeas
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5
2 id 22 . . . . . 6
3 fdm 5745 . . . . . . 7
43feq2d 5725 . . . . . 6
52, 4mpbird 240 . . . . 5
61, 5syl 17 . . . 4
7 unipw 4650 . . . . . . 7
87pweqi 3946 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
101, 3syl 17 . . . . . . 7
1110unieqd 4200 . . . . . 6
1211pweqd 3947 . . . . 5
139, 12, 103eqtr4rd 2516 . . . 4
14 isomennd.o0 . . . 4
156, 13, 14jca31 543 . . 3
16 simpl 464 . . . . 5
17 simpr 468 . . . . . . . 8
1812, 9eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
1918adantr 472 . . . . . . . 8
2017, 19eleqtrd 2551 . . . . . . 7
21 elpwi 3951 . . . . . . 7
2220, 21syl 17 . . . . . 6
2322adantrr 731 . . . . 5
24 elpwi 3951 . . . . . . 7
2524adantl 473 . . . . . 6
2625adantl 473 . . . . 5
27 isomennd.le . . . . 5
2816, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . 4
2928ralrimivva 2814 . . 3
30 0le0 10721 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13
33 uni0 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10
3814adantr 472 . . . . . . . . . 10
3937, 38eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
40 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13
41 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4340, 42eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
45 sge00 38332 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 Σ^
4744, 46eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 Σ^
4847adantl 473 . . . . . . . . 9 Σ^
4939, 48breq12d 4408 . . . . . . . 8 Σ^
5031, 49mpbird 240 . . . . . . 7 Σ^
5150ad4ant14 1259 . . . . . 6 Σ^
52 simpl 464 . . . . . . 7
53 neqne 2651 . . . . . . . 8
5453adantl 473 . . . . . . 7
55 ssnnf1octb 37541 . . . . . . . . 9
5655adantll 728 . . . . . . . 8
571ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
5814ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
59 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
6010pweqd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
6259, 61eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14
63 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
66 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 Σ^
6866, 67sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
6968adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
70 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12
71 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
72 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
73 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13
7574cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 38470 . . . . . . . . . . 11 Σ^
7776ex 441 . . . . . . . . . 10 Σ^
7877ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 Σ^
7978exlimdv 1787 . . . . . . . 8 Σ^
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 Σ^
8152, 54, 80syl2anc 673 . . . . . 6 Σ^
8251, 81pm2.61dan 808 . . . . 5 Σ^
8382ex 441 . . . 4 Σ^
8483ralrimiva 2809 . . 3 Σ^
8515, 29, 84jca31 543 . 2 Σ^
86 isomennd.x . . . . 5
87 pwexg 4585 . . . . 5
8886, 87syl 17 . . . 4
89 fex 6155 . . . 4
901, 88, 89syl2anc 673 . . 3
91 isome 38434 . . 3 OutMeas Σ^
9290, 91syl 17 . 2 OutMeas Σ^
9385, 92mpbird 240 1 OutMeas
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cif 3872  cpw 3942  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cdom 7585  cc0 9557   cpnf 9690   cle 9694  cn 10631  cicc 11663  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430 This theorem is referenced by:  ovnome  38513
 Copyright terms: Public domain W3C validator