MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoini2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isoini2 6230
Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoini2.1  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
isoini2.2  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
Assertion
Ref Expression
isoini2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )

Proof of Theorem isoini2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6216 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of1 5813 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-> B )
43adantr 467 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  H : A -1-1-> B )
5 isoini2.1 . . . . 5  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
6 inss1 3652 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )  C_  A
75, 6eqsstri 3462 . . . 4  |-  C  C_  A
8 f1ores 5828 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
94, 7, 8sylancl 668 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
) )
10 isoini 6229 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) ) )
115imaeq2i 5166 . . . . 5  |-  ( H
" C )  =  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )
12 isoini2.2 . . . . 5  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
1310, 11, 123eqtr4g 2510 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " C )  =  D )
14 f1oeq3 5807 . . . 4  |-  ( ( H " C )  =  D  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
169, 15mpbid 214 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D )
17 df-isom 5591 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
1817simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
1918adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
20 ssralv 3493 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
2120ralimdv 2798 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
227, 19, 21mpsyl 65 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
23 ssralv 3493 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
247, 22, 23mpsyl 65 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
25 fvres 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 x )  =  ( H `  x
) )
26 fvres 5879 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 y )  =  ( H `  y
) )
2725, 26breqan12d 4418 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y )  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2827bibi2d 320 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
2928ralbidva 2824 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
3029ralbiia 2818 . . 3  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) )  <->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
3124, 30sylibr 216 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) ) )
32 df-isom 5591 . 2  |-  ( ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D )  <-> 
( ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) ) ) )
3316, 31, 32sylanbrc 670 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    i^i cin 3403    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833    |` cres 4836   "cima 4837   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582    Isom wiso 5583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591
This theorem is referenced by:  fz1isolem  12624
  Copyright terms: Public domain W3C validator