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Theorem isoini2 6025
Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoini2.1  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
isoini2.2  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
Assertion
Ref Expression
isoini2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )

Proof of Theorem isoini2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6011 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of1 5635 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-> B )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  H : A -1-1-> B )
5 isoini2.1 . . . . 5  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
6 inss1 3565 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )  C_  A
75, 6eqsstri 3381 . . . 4  |-  C  C_  A
8 f1ores 5650 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
94, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
) )
10 isoini 6024 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) ) )
115imaeq2i 5162 . . . . 5  |-  ( H
" C )  =  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )
12 isoini2.2 . . . . 5  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
1310, 11, 123eqtr4g 2495 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " C )  =  D )
14 f1oeq3 5629 . . . 4  |-  ( ( H " C )  =  D  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
169, 15mpbid 210 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D )
17 df-isom 5422 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
1817simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
1918adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
20 ssralv 3411 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
2120ralimdv 2790 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
227, 19, 21mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
23 ssralv 3411 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
247, 22, 23mpsyl 63 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
25 fvres 5699 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 x )  =  ( H `  x
) )
26 fvres 5699 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 y )  =  ( H `  y
) )
2725, 26breqan12d 4302 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y )  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2827bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
2928ralbidva 2726 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
3029ralbiia 2742 . . 3  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) )  <->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
3124, 30sylibr 212 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) ) )
32 df-isom 5422 . 2  |-  ( ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D )  <-> 
( ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) ) ) )
3316, 31, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    i^i cin 3322    C_ wss 3323   {csn 3872   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834    |` cres 4837   "cima 4838   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422
This theorem is referenced by:  fz1isolem  12206
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