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Theorem isocnv3 6207
Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isocnv3.1  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
isocnv3.2  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
Assertion
Ref Expression
isocnv3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )

Proof of Theorem isocnv3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brxp 5022 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
2 isocnv3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
32breqi 4446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x C y  <->  x (
( A  X.  A
)  \  R )
y )
4 brdif 4490 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ( A  X.  A )  \  R
) y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
53, 4bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
65baib 898 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
71, 6sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x C y  <->  -.  x R y ) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
9 f1of 5807 . . . . . . . 8  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
10 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  B )
11 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y
)  e.  B )
1210, 11anim12dan 834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
)  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
13 brxp 5022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
159, 14sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
16 isocnv3.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
1716breqi 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( H `  x ) ( ( B  X.  B ) 
\  S ) ( H `  y ) )
18 brdif 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( ( B  X.  B )  \  S
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2019baib 898 . . . . . . 7  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2115, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
228, 21bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) )  <-> 
( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
23 notbi 295 . . . . 5  |-  ( ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2422, 23syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
25242ralbidva 2899 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2625pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  <->  ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <->  ( H `  x ) D ( H `  y ) ) ) )
27 df-isom 5588 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
28 df-isom 5588 . 2  |-  ( H 
Isom  C ,  D  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2926, 27, 283bitr4i 277 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    \ cdif 3466   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579    Isom wiso 5580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588
This theorem is referenced by:  leiso  12461  gtiso  27177
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