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Theorem isocnv3 6167
Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isocnv3.1  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
isocnv3.2  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
Assertion
Ref Expression
isocnv3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )

Proof of Theorem isocnv3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brxp 4973 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
2 isocnv3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
32breqi 4400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x C y  <->  x (
( A  X.  A
)  \  R )
y )
4 brdif 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ( A  X.  A )  \  R
) y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
53, 4bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
65baib 904 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
71, 6sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x C y  <->  -.  x R y ) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
9 f1of 5755 . . . . . . . 8  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
10 ffvelrn 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  B )
11 ffvelrn 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y
)  e.  B )
1210, 11anim12dan 838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
)  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
13 brxp 4973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
159, 14sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
16 isocnv3.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
1716breqi 4400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( H `  x ) ( ( B  X.  B ) 
\  S ) ( H `  y ) )
18 brdif 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( ( B  X.  B )  \  S
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2019baib 904 . . . . . . 7  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2115, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
228, 21bibi12d 319 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) )  <-> 
( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
23 notbi 293 . . . . 5  |-  ( ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2422, 23syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
25242ralbidva 2845 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2625pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  <->  ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <->  ( H `  x ) D ( H `  y ) ) ) )
27 df-isom 5534 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
28 df-isom 5534 . 2  |-  ( H 
Isom  C ,  D  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2926, 27, 283bitr4i 277 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    \ cdif 3410   class class class wbr 4394    X. cxp 4940   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525    Isom wiso 5526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534
This theorem is referenced by:  leiso  12464  gtiso  27843
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