Theorem isocnv2 6222

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2951	. . . 4 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
2		vex 3048	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 3048	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 5017	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
5		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( H ` x ) e. _V
6		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( H ` y ) e. _V
7	5, 6	brcnv 5017	. . . . . 6 |- ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) )
8	4, 7	bibi12i 317	. . . . 5 |- ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
9	8	2ralbii 2820	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
10	1, 9	bitr4i 256	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) )
11	10	anbi2i 700	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
12		df-isom 5591	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
13		df-isom 5591	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 281	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wral 2737   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582   Isom wiso 5583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-cnv 4842  df-iota 5546  df-fv 5590  df-isom 5591

This theorem is referenced by:  infiso  8023  wofib  8060  leiso  12622  gtiso  28281