Theorem isocnv2 6215

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3022	. . . 4 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
2		vex 3116	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 3116	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 5185	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
5		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( H ` x ) e. _V
6		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( H ` y ) e. _V
7	5, 6	brcnv 5185	. . . . . 6 |- ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) )
8	4, 7	bibi12i 315	. . . . 5 |- ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
9	8	2ralbii 2896	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
10	1, 9	bitr4i 252	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) )
11	10	anbi2i 694	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
12		df-isom 5597	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
13		df-isom 5597	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 277	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wral 2814   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   Isom wiso 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-cnv 5007  df-iota 5551  df-fv 5596  df-isom 5597

This theorem is referenced by:  wofib  7970  leiso  12474  gtiso  27219