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Theorem isocnv 6009
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5646 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
3 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  z ) )  =  z )
43adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  z )
)  =  z )
5 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  w ) )  =  w )
65adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  w )
)  =  w )
74, 6breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
87adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
9 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( `' H : B -1-1-onto-> A  ->  `' H : B --> A )
101, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B --> A )
11 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' H `  z )  e.  A
)
12 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  w  e.  B )  ->  ( `' H `  w )  e.  A
)
1311, 12anim12dan 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
) )
14 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
x R y  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
15 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  ( H `  x )  =  ( H `  ( `' H `  z ) ) )
1615breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  y
) ) )
1714, 16bibi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) ) ) )
18 bicom 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) ) )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( `' H `  w ) ) )
2120breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  ( `' H `  w ) ) ) )
22 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( `' H `  z ) R y  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2321, 22bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y )  <->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
2419, 23rspc2va 3019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2513, 24sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2625an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2710, 26sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
288, 27bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z S w  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2928ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
302, 29jca 519 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
31 df-isom 5422 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
32 df-isom 5422 . 2  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  <->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
3330, 31, 323imtr4i 258 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414
This theorem is referenced by:  isores1  6013  isofr  6021  isose  6022  isopo  6025  isoso  6027  weisoeq  6035  weisoeq2  6036  fnwelem  6420  oieu  7464  oemapwe  7606  cantnffval2  7607  wemapwe  7610  infxpenlem  7851  fpwwe2lem7  8467  fpwwe2lem9  8469  infmsup  9942  ltweuz  11256  fz1isolem  11665  ordthmeo  17787  relogiso  20445  erdsze2lem2  24843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422
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