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Theorem isocnv 6016
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5648 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
3 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  z ) )  =  z )
43adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  z )
)  =  z )
5 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  w ) )  =  w )
65adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  w )
)  =  w )
74, 6breq12d 4300 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
87adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
9 f1of 5636 . . . . . . 7  |-  ( `' H : B -1-1-onto-> A  ->  `' H : B --> A )
101, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B --> A )
11 ffvelrn 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' H `  z )  e.  A
)
12 ffvelrn 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  w  e.  B )  ->  ( `' H `  w )  e.  A
)
1311, 12anim12dan 833 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
) )
14 breq1 4290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
x R y  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
15 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  ( H `  x )  =  ( H `  ( `' H `  z ) ) )
1615breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  y
) ) )
1714, 16bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) ) ) )
18 bicom 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) ) )
20 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( `' H `  w ) ) )
2120breq2d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  ( `' H `  w ) ) ) )
22 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( `' H `  z ) R y  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2321, 22bibi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y )  <->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
2419, 23rspc2va 3075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2513, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2625an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2710, 26sylanl1 650 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
288, 27bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z S w  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2928ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
302, 29jca 532 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
31 df-isom 5422 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
32 df-isom 5422 . 2  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  <->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
3330, 31, 323imtr4i 266 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422
This theorem is referenced by:  isores1  6020  isofr  6028  isose  6029  isopo  6032  isoso  6034  weisoeq  6041  weisoeq2  6042  fnwelem  6682  oieu  7745  oemapwe  7894  cantnffval2  7895  oemapweOLD  7916  cantnffval2OLD  7917  wemapwe  7920  wemapweOLD  7921  infxpenlem  8172  fpwwe2lem7  8795  fpwwe2lem9  8797  infmsup  10300  ltweuz  11776  fz1isolem  12206  ordthmeo  19355  relogiso  22026  erdsze2lem2  27061
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