Theorem isocnv 4873

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 4651	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-1-1-onto->A)
2	1	adantr 425	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> `'H:B-1-1-onto->A)
3		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ z e. B) -> (H` (`'H` z)) = z)
4	3	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` z)) = z)
5		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ w e. B) -> (H` (`'H` w)) = w)
6	5	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` w)) = w)
7	4, 6	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
8	7	adantlr 429	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
9		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> (xRy <-> (`'H` z)Ry))
10		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (`'H` z) -> (H` x) = (H` (`'H` z)))
11	10	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` y)))
12	9, 11	bibi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y))))
13		bicom 579	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry))
14	12, 13	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry)))
15		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (`'H` w) -> (H` y) = (H` (`'H` w)))
16	15	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` (`'H` w))))
17		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((`'H` z)Ry <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
18	16, 17	bibi12d 691	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (`'H` w) -> (((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry) <-> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
19	14, 18	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) -> (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
20	19	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
21		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ z e. B) -> (`'H` z) e. A)
22		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ w e. B) -> (`'H` w) e. A)
23	21, 22	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H:B-->A /\ z e. B) /\ (`'H:B-->A /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
24	23	anandis 570	. . . . . . . . . 10 |- ((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
25	20, 24	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- (((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
26	25	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((`'H:B-->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
27		f1of 4635	. . . . . . . . 9 |- (`'H:B-1-1-onto->A -> `'H:B-->A)
28	1, 27	syl 12	. . . . . . . 8 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-->A)
29	26, 28	sylanl1 509	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
30	8, 29	bitr3d 589	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
31	30	exp32 408	. . . . 5 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> (w e. B -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))))
32	31	r19.21adv 2181	. . . 4 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
33	32	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
34	2, 33	jca 310	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
35		df-iso 4015	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36		df-iso 4015	. 2 |- (`'H Isom S, R (B, A) <-> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
37	34, 35, 36	3imtr4i 236	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998   Isom wiso 3999

This theorem is referenced by:  isofr 4879  ordtype 5691  relogiso 10129  ordtypeOLD 15382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain