Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnzr2hash Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2hash 30923
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 17469. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 17465 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2hash.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1rngidcl 16789 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
64, 2rng0cl 16790 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
7 1re 9497 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
87rexri 9548 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  e.  RR* )
10 prex 4643 . . . . . . . 8  |-  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) }  e.  _V
11 hashxrcl 12245 . . . . . . . 8  |-  ( { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) }  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } )  e. 
RR* )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  e.  RR* )
13 fvex 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
144, 13eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
15 hashxrcl 12245 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
1614, 15mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  B
)  e.  RR* )
17 1lt2 10600 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
18 hashprg 12274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 ) )
1918biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 )
2017, 19syl5breqr 4437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e.  B  /\  ( 0g
`  R )  e.  B ) )
22 fvex 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
23 fvex 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2422, 23prss 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  <->  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
2521, 24sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
26 hashss 12285 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } 
C_  B )  -> 
( # `  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
2714, 25, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
289, 12, 16, 20, 27xrltletrd 11247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 B ) )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  -> 
1  <  ( # `  B
) ) )
305, 6, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  1  <  ( # `  B
) ) )
3130imdistani 690 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) ) )
32 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  R  e.  Ring )
334, 1, 2rng1ne0 30922 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
3432, 33jca 532 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) ) )
3531, 34impbii 188 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  (
# `  B )
) )
363, 35bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   {cpr 3988   class class class wbr 4401   ` cfv 5527   1c1 9395   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531   2c2 10483   #chash 12221   Basecbs 14293   0gc0g 14498   1rcur 16726   Ringcrg 16769  NzRingcnzr 17463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-hash 12222  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-nzr 17464
This theorem is referenced by:  0rngnnzr  30927  el0ldepsnzr  31134
  Copyright terms: Public domain W3C validator