MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2hash 18044
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 18043. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2392 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2392 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 18039 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2hash.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1ringidcl 17351 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
64, 2ring0cl 17352 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
7 1re 9524 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
87rexri 9575 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  e.  RR* )
10 prex 4617 . . . . . . . 8  |-  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) }  e.  _V
11 hashxrcl 12350 . . . . . . . 8  |-  ( { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) }  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } )  e. 
RR* )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  e.  RR* )
13 fvex 5797 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
144, 13eqeltri 2476 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
15 hashxrcl 12350 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
1614, 15mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  B
)  e.  RR* )
17 1lt2 10637 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
18 hashprg 12383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 ) )
1918biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 )
2017, 19syl5breqr 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } ) )
21 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e.  B  /\  ( 0g
`  R )  e.  B ) )
22 fvex 5797 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
23 fvex 5797 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2422, 23prss 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  <->  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
2521, 24sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
26 hashss 12397 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } 
C_  B )  -> 
( # `  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
2714, 25, 26sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
289, 12, 16, 20, 27xrltletrd 11303 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 B ) )
2928ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  -> 
1  <  ( # `  B
) ) )
305, 6, 29syl2anc 659 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  1  <  ( # `  B
) ) )
3130imdistani 688 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) ) )
32 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  R  e.  Ring )
334, 1, 2ring1ne0 17371 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
3432, 33jca 530 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) ) )
3531, 34impbii 188 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  (
# `  B )
) )
363, 35bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   _Vcvv 3047    C_ wss 3402   {cpr 3959   class class class wbr 4380   ` cfv 5509   1c1 9422   RR*cxr 9556    < clt 9557    <_ cle 9558   2c2 10520   #chash 12326   Basecbs 14653   0gc0g 14866   1rcur 17285   Ringcrg 17330  NzRingcnzr 18037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-oadd 7070  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612  df-hash 12327  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-plusg 14734  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-nzr 18038
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  18049  el0ldepsnzr  33303
  Copyright terms: Public domain W3C validator