MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2hash 17780
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 17779. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 17775 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2hash.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1ringidcl 17087 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
64, 2ring0cl 17088 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
7 1re 9593 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
87rexri 9644 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  e.  RR* )
10 prex 4675 . . . . . . . 8  |-  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) }  e.  _V
11 hashxrcl 12403 . . . . . . . 8  |-  ( { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) }  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } )  e. 
RR* )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  e.  RR* )
13 fvex 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
144, 13eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
15 hashxrcl 12403 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
1614, 15mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  B
)  e.  RR* )
17 1lt2 10703 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
18 hashprg 12434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 ) )
1918biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  =  2 )
2017, 19syl5breqr 4469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) } ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e.  B  /\  ( 0g
`  R )  e.  B ) )
22 fvex 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
23 fvex 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2422, 23prss 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  <->  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
2521, 24sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  { ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) }  C_  B
)
26 hashss 12448 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } 
C_  B )  -> 
( # `  { ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
2714, 25, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( # `  {
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) } )  <_  ( # `  B
) )
289, 12, 16, 20, 27xrltletrd 11368 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 0g `  R
)  e.  B )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  1  <  ( # `
 B ) )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  -> 
1  <  ( # `  B
) ) )
305, 6, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  1  <  ( # `  B
) ) )
3130imdistani 690 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) ) )
32 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  R  e.  Ring )
334, 1, 2ring1ne0 17107 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
3432, 33jca 532 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) ) )
3531, 34impbii 188 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  (
# `  B )
) )
363, 35bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  1  <  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   {cpr 4012   class class class wbr 4433   ` cfv 5574   1c1 9491   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   2c2 10586   #chash 12379   Basecbs 14504   0gc0g 14709   1rcur 17021   Ringcrg 17066  NzRingcnzr 17773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-hash 12380  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-nzr 17774
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  17785  el0ldepsnzr  32778
  Copyright terms: Public domain W3C validator