MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2 18229
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 18225 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1ringidcl 17537 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2ring0cl 17538 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 3170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 432 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2ring1eq0 17556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2615 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2902 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 191 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
234, 22eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
24 1sdom 7757 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y
)
2621, 25syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  1o  ~<  B ) )
27 1onn 7324 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
28 sucdom 7751 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
30 df-2o 7167 . . . . . 6  |-  2o  =  suc  1o
3130breq1i 4401 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
3229, 31bitr4i 252 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  B  <->  2o  ~<_  B )
3326, 32syl6bb 261 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
3433pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
353, 34bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   suc csuc 5411   ` cfv 5568   omcom 6682   1oc1o 7159   2oc2o 7160    ~<_ cdom 7551    ~< csdm 7552   Basecbs 14839   0gc0g 15052   1rcur 17471   Ringcrg 17516  NzRingcnzr 18223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-nzr 18224
This theorem is referenced by:  opprnzr  18231  znfld  18895  znidomb  18896
  Copyright terms: Public domain W3C validator