MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2 17322
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 17318 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1rngidcl 16653 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2rng0cl 16654 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2612 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 3076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2rng1eq0 16672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2640 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2843 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 191 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
234, 22eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
24 1sdom 7507 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y
)
2621, 25syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  1o  ~<  B ) )
27 1onn 7070 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
28 sucdom 7500 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
30 df-2o 6913 . . . . . 6  |-  2o  =  suc  1o
3130breq1i 4294 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
3229, 31bitr4i 252 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  B  <->  2o  ~<_  B )
3326, 32syl6bb 261 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
3433pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
353, 34bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   suc csuc 4716   ` cfv 5413   omcom 6471   1oc1o 6905   2oc2o 6906    ~<_ cdom 7300    ~< csdm 7301   Basecbs 14166   0gc0g 14370   1rcur 16591   Ringcrg 16633  NzRingcnzr 17316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-nzr 17317
This theorem is referenced by:  opprnzr  17323  znfld  17968  znidomb  17969
  Copyright terms: Public domain W3C validator