MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2 17471
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 17467 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1rngidcl 16791 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2rng0cl 16792 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2rng1eq0 16810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2664 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2954 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 191 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
234, 22eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
24 1sdom 7629 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y
)
2621, 25syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  1o  ~<  B ) )
27 1onn 7191 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
28 sucdom 7622 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
30 df-2o 7034 . . . . . 6  |-  2o  =  suc  1o
3130breq1i 4410 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
3229, 31bitr4i 252 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  B  <->  2o  ~<_  B )
3326, 32syl6bb 261 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
3433pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
353, 34bitri 249 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   suc csuc 4832   ` cfv 5529   omcom 6589   1oc1o 7026   2oc2o 7027    ~<_ cdom 7421    ~< csdm 7422   Basecbs 14295   0gc0g 14500   1rcur 16728   Ringcrg 16771  NzRingcnzr 17465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-nzr 17466
This theorem is referenced by:  opprnzr  17472  znfld  18121  znidomb  18122
  Copyright terms: Public domain W3C validator