Theorem isnvi 9564

Description: Properties that determine a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
isnvi.5	|- X = ran G
isnvi.6	|- Z = (Id` G)
isnvi.7	|- <.G, S>. e. CVec
isnvi.8	|- N:X-->RR
isnvi.9	|- ((x e. X /\ (N` x) = 0) -> x = Z)
isnvi.10	|- ((y e. CC /\ x e. X) -> (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)))
isnvi.11	|- ((x e. X /\ y e. X) -> (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))
isnvi.12	|- U = <.<.G, S>., N>.

Assertion

Ref	Expression
isnvi	|- U e. NrmCVec

Distinct variable groups:   x,y,G   x,N,y   x,S,y   x,X,y

Proof of Theorem isnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvi.12	. 2 |- U = <.<.G, S>., N>.
2		isnvi.5	. . . 4 |- X = ran G
3		isnvi.6	. . . 4 |- Z = (Id` G)
4	2, 3	isnv 9563	. . 3 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))))
5		isnvi.7	. . 3 |- <.G, S>. e. CVec
6		isnvi.8	. . 3 |- N:X-->RR
7		isnvi.9	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ (N` x) = 0) -> x = Z)
8	7	ex 402	. . . . 5 |- (x e. X -> ((N` x) = 0 -> x = Z))
9		isnvi.10	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ x e. X) -> (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)))
10	9	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ y e. CC) -> (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)))
11	10	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- (x e. X -> A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)))
12		isnvi.11	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))
13	12	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- (x e. X -> A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))
14	8, 11, 13	3jca 1050	. . . 4 |- (x e. X -> (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y))))
15	14	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))
16	4, 5, 6, 15	mpbir3an 1052	. 2 |- <.<.G, S>., N>. e. NrmCVec
17	1, 16	eqeltri 1967	1 |- U e. NrmCVec

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ran crn 3987  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  Idcgi 9312  CVeccvc 9496  NrmCVeccnv 9535

This theorem is referenced by:  cnnv 9639  hhnv 10665  hhssnv 10767

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543

Copyright terms: Public domain