Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem3 30647
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 12383 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3 eqid 2460 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  =  (ℤ/n `  ( # `  S
) )
43zncrng 18343 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  CRing )
5 crngrng 16989 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  CRing  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Ring )
6 rngabl 17008 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Ring  ->  (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Abel )
72, 4, 5, 64syl 21 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Abel )
8 hashnncl 12391 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
98biimparc 487 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e.  NN )
10 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) )
113, 10znhash 18357 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  =  ( # `  S
) )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )  =  (
# `  S )
)
1312eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  Fin )
153, 10znfi 18358 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
169, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
17 hashen 12375 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1913, 18mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )
2010isnumbasgrplem1 30643 . . . 4  |-  ( ( (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
217, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
2221adantll 713 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
23 2nn0 10801 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
24 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  2
)  =  (ℤ/n `  2
)
2524zncrng 18343 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  2
)  e.  CRing )
26 crngrng 16989 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  2 )  e. 
Ring )
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  Ring
28 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 ) freeLMod  S )  =  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )
2928frlmlmod 18540 . . . . . 6  |-  ( ( (ℤ/n `  2 )  e. 
Ring  /\  S  e.  dom  card )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  LMod )
3027, 29mpan 670 . . . . 5  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod )
31 lmodabl 17333 . . . . 5  |-  ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3332ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  Abel )
34 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  =  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )
3524, 28, 34frlmpwfi 30639 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  card  ->  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3635ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )
)
37 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  dom  card )
38 numinfctb 30645 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
-.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
3938adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
40 infpwfien 8432 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  S )  -> 
( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S
)
42 entr 7557 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4336, 41, 42syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4443ensymd 7556 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4534isnumbasgrplem1 30643 . . 3  |-  ( ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) ) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
4633, 44, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
4722, 46pm2.61dan 789 1  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    i^i cin 3468   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   "cima 4995   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   omcom 6671    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504   Fincfn 7506   cardccrd 8305   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   #chash 12360   Basecbs 14479   Abelcabel 16588   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980   LModclmod 17288  ℤ/nczn 18300   freeLMod cfrlm 18537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-seqom 7103  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-hash 12361  df-dvds 13837  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-0g 14686  df-prds 14692  df-pws 14694  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-gic 16096  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304  df-dsmm 18523  df-frlm 18538
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  30648  dfacbasgrp  30650
  Copyright terms: Public domain W3C validator