Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem3 35398
 Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 12473 . . . . . 6
21adantl 464 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
43zncrng 18879 . . . . 5 ℤ/n
5 crngring 17527 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n
6 ringabl 17546 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n
72, 4, 5, 64syl 21 . . . 4 ℤ/n
8 hashnncl 12482 . . . . . . . 8
98biimparc 485 . . . . . . 7
10 eqid 2402 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
113, 10znhash 18893 . . . . . . 7 ℤ/n
129, 11syl 17 . . . . . 6 ℤ/n
1312eqcomd 2410 . . . . 5 ℤ/n
14 simpr 459 . . . . . 6
153, 10znfi 18894 . . . . . . 7 ℤ/n
169, 15syl 17 . . . . . 6 ℤ/n
17 hashen 12465 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
1814, 16, 17syl2anc 659 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n
1913, 18mpbid 210 . . . 4 ℤ/n
2010isnumbasgrplem1 35394 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
217, 19, 20syl2anc 659 . . 3
23 2nn0 10852 . . . . . . 7
24 eqid 2402 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
2524zncrng 18879 . . . . . . 7 ℤ/n
26 crngring 17527 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 ℤ/n
28 eqid 2402 . . . . . . 7 ℤ/n freeLMod ℤ/n freeLMod
2928frlmlmod 19076 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n freeLMod
3027, 29mpan 668 . . . . 5 ℤ/n freeLMod
31 lmodabl 17875 . . . . 5 ℤ/n freeLMod ℤ/n freeLMod
3230, 31syl 17 . . . 4 ℤ/n freeLMod
3332ad2antrr 724 . . 3 ℤ/n freeLMod
34 eqid 2402 . . . . . . 7 ℤ/n freeLMod ℤ/n freeLMod
3524, 28, 34frlmpwfi 35390 . . . . . 6 ℤ/n freeLMod
3635ad2antrr 724 . . . . 5 ℤ/n freeLMod
37 simpll 752 . . . . . 6
38 numinfctb 35396 . . . . . . 7
3938adantlr 713 . . . . . 6
40 infpwfien 8474 . . . . . 6
4137, 39, 40syl2anc 659 . . . . 5
42 entr 7604 . . . . 5 ℤ/n freeLMod ℤ/n freeLMod
4336, 41, 42syl2anc 659 . . . 4 ℤ/n freeLMod
4443ensymd 7603 . . 3 ℤ/n freeLMod
4534isnumbasgrplem1 35394 . . 3 ℤ/n freeLMod ℤ/n freeLMod
4633, 44, 45syl2anc 659 . 2
4722, 46pm2.61dan 792 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   cin 3412  c0 3737  cpw 3954   class class class wbr 4394   cdm 4822  cima 4825  cfv 5568  (class class class)co 6277  com 6682   cen 7550   cdom 7551  cfn 7553  ccrd 8347  cn 10575  c2 10625  cn0 10835  chash 12450  cbs 14839  cabl 17121  crg 17516  ccrg 17517  clmod 17830  ℤ/nℤczn 18838   freeLMod cfrlm 19073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-hash 12451  df-dvds 14194  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-imas 15120  df-qus 15121  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-gic 16630  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-rnghom 17682  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-zn 18842  df-dsmm 19059  df-frlm 19074 This theorem is referenced by:  isnumbasabl  35399  dfacbasgrp  35401
 Copyright terms: Public domain W3C validator