Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 35394
 Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7600 . . 3
2 bren 7562 . . 3
31, 2bitri 249 . 2
4 eqidd 2403 . . . . . . 7 s s
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
7 f1ofo 5805 . . . . . . . 8
87adantr 463 . . . . . . 7
9 simpr 459 . . . . . . 7
104, 6, 8, 9imasbas 15124 . . . . . 6 s
11 simpl 455 . . . . . . . . . 10
12 ablgrp 17125 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 464 . . . . . . . . . 10
144, 6, 11, 13imasgim 35392 . . . . . . . . 9 GrpIso s
15 brgici 16640 . . . . . . . . 9 GrpIso s 𝑔 s
16 gicabl 35391 . . . . . . . . 9 𝑔 s s
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8 s
189, 17mpbid 210 . . . . . . 7 s
19 basfn 35393 . . . . . . . 8
20 ssv 3461 . . . . . . . 8
21 fnfvima 6130 . . . . . . . 8 s s
2219, 20, 21mp3an12 1316 . . . . . . 7 s s
2318, 22syl 17 . . . . . 6 s
2410, 23eqeltrd 2490 . . . . 5
2524ex 432 . . . 4
2625exlimiv 1743 . . 3
2726impcom 428 . 2
283, 27sylan2b 473 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842  cvv 3058   wss 3413   class class class wbr 4394  cima 4825   wfn 5563  wfo 5566  wf1o 5567  cfv 5568  (class class class)co 6277   cen 7550  cbs 14839   s cimas 15116  cgrp 16375   GrpIso cgim 16627   𝑔 cgic 16628  cabl 17121 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-0g 15054  df-imas 15120  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-gic 16630  df-cmn 17122  df-abl 17123 This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  35398
 Copyright terms: Public domain W3C validator