Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 29462
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7362 . . 3  |-  ( C 
~~  B  <->  B  ~~  C )
2 bren 7324 . . 3  |-  ( B 
~~  C  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
31, 2bitri 249 . 2  |-  ( C 
~~  B  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
4 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  =  ( f  "s  R
) )
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  B  =  ( Base `  R ) )
7 f1ofo 5653 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  f : B -onto-> C )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -onto-> C
)
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Abel )
104, 6, 8, 9imasbas 14455 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  =  ( Base `  ( f  "s  R )
) )
11 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -1-1-onto-> C )
12 ablgrp 16287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Grp )
144, 6, 11, 13imasgim 29460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f  e.  ( R GrpIso 
( f  "s  R )
) )
15 brgici 15803 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R GrpIso  (
f  "s  R ) )  ->  R  ~=ph𝑔  ( f  "s  R )
)
16 gicabl 29459 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
~=ph𝑔  ( f  "s  R )  ->  ( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
189, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  e.  Abel )
19 basfn 29461 . . . . . . . 8  |-  Base  Fn  _V
20 ssv 3381 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  _V
21 fnfvima 5960 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Abel  C_ 
_V  /\  ( f  "s  R )  e.  Abel )  ->  ( Base `  (
f  "s  R ) )  e.  ( Base " Abel ) )
2219, 20, 21mp3an12 1304 . . . . . . 7  |-  ( ( f  "s  R )  e.  Abel  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2318, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2410, 23eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) )
2524ex 434 . . . 4  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base " Abel )
) )
2625exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) ) )
2726impcom 430 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  E. f  f : B -1-1-onto-> C
)  ->  C  e.  ( Base " Abel )
)
283, 27sylan2b 475 1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   "cima 4848    Fn wfn 5418   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ~~ cen 7312   Basecbs 14179    "s cimas 14447   Grpcgrp 15415   GrpIso cgim 15790    ~=ph𝑔 cgic 15791   Abelcabel 16283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-0g 14385  df-imas 14451  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-gic 15793  df-cmn 16284  df-abl 16285
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  29466
  Copyright terms: Public domain W3C validator