Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 35394
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7600 . . 3  |-  ( C 
~~  B  <->  B  ~~  C )
2 bren 7562 . . 3  |-  ( B 
~~  C  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
31, 2bitri 249 . 2  |-  ( C 
~~  B  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
4 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  =  ( f  "s  R
) )
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  B  =  ( Base `  R ) )
7 f1ofo 5805 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  f : B -onto-> C )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -onto-> C
)
9 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Abel )
104, 6, 8, 9imasbas 15124 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  =  ( Base `  ( f  "s  R )
) )
11 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -1-1-onto-> C )
12 ablgrp 17125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
1312adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Grp )
144, 6, 11, 13imasgim 35392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f  e.  ( R GrpIso 
( f  "s  R )
) )
15 brgici 16640 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R GrpIso  (
f  "s  R ) )  ->  R  ~=g𝑔  ( f  "s  R )
)
16 gicabl 35391 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
~=g𝑔 
( f  "s  R )  ->  ( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
189, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  e.  Abel )
19 basfn 35393 . . . . . . . 8  |-  Base  Fn  _V
20 ssv 3461 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  _V
21 fnfvima 6130 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Abel  C_ 
_V  /\  ( f  "s  R )  e.  Abel )  ->  ( Base `  (
f  "s  R ) )  e.  ( Base " Abel ) )
2219, 20, 21mp3an12 1316 . . . . . . 7  |-  ( ( f  "s  R )  e.  Abel  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2318, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2410, 23eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) )
2524ex 432 . . . 4  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base " Abel )
) )
2625exlimiv 1743 . . 3  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) ) )
2726impcom 428 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  E. f  f : B -1-1-onto-> C
)  ->  C  e.  ( Base " Abel )
)
283, 27sylan2b 473 1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   "cima 4825    Fn wfn 5563   -onto->wfo 5566   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ~~ cen 7550   Basecbs 14839    "s cimas 15116   Grpcgrp 16375   GrpIso cgim 16627    ~=g𝑔 cgic 16628   Abelcabl 17121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-0g 15054  df-imas 15120  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-gic 16630  df-cmn 17122  df-abl 17123
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  35398
  Copyright terms: Public domain W3C validator