MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsgrp Structured version   Unicode version

Theorem isnsgrp 16524
Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issgrpn0.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issgrpn0.o  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
isnsgrp  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  M  e/ SGrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  X  e.  B
)
2 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .o.  y )  =  ( X  .o.  y ) )
32oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  y )  .o.  z ) )
4 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .o.  ( y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  (
y  .o.  z )
) )
53, 4eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  y )  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) ) ) )
65notbid 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
76rexbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
87rexbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
98adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  x  =  X )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
10 simpl2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  Y  e.  B
)
11 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .o.  y )  =  ( X  .o.  Y
) )
1211oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z ) )
13 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .o.  z )  =  ( Y  .o.  z ) )
1413oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) )
1512, 14eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) ) )
1615notbid 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
1716adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  y  =  Y )  ->  ( -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
1817rexbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  y  =  Y )  ->  ( E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
19 simpl3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  Z  e.  B
)
20 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z ) )
21 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .o.  z )  =  ( Y  .o.  Z
) )
2221oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2320, 22eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
2423notbid 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
2524adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  z  =  Z )  ->  ( -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
26 df-ne 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  <->  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  Z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2726biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2827adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2919, 25, 28rspcedvd 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) )
3010, 18, 29rspcedvd 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
311, 9, 30rspcedvd 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
32 rexnal 2874 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  A. z  e.  B  ( (
x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
33322rexbii 2929 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  A. z  e.  B  ( (
x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
34 rexnal2 2930 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) )  <->  -.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
3533, 34bitr2i 254 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) ) )
3631, 35sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
3736intnand 925 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) ) )
38 issgrpn0.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
39 issgrpn0.o . . . . 5  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
4038, 39issgrp 16521 . . . 4  |-  ( M  e. SGrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
4137, 40sylnibr 307 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  M  e. SGrp )
42 df-nel 2622 . . 3  |-  ( M  e/ SGrp 
<->  -.  M  e. SGrp )
4341, 42sylibr 216 . 2  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  M  e/ SGrp )
4443ex 436 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  M  e/ SGrp ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    e/ wnel 2620   A.wral 2776   E.wrex 2777   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Mgmcmgm 16479  SGrpcsgrp 16519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-nul 4553
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-iota 5563  df-fv 5607  df-ov 6306  df-sgrp 16520
This theorem is referenced by:  mgm2nsgrplem4  16648  xrsnsgrp  18997
  Copyright terms: Public domain W3C validator