Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsg3 Structured version   Unicode version

Theorem isnsg3 16802
 Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1
isnsg3.2
isnsg3.3
Assertion
Ref Expression
isnsg3 NrmSGrp SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,

Proof of Theorem isnsg3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16800 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 isnsg3.1 . . . . . 6
3 isnsg3.2 . . . . . 6
4 isnsg3.3 . . . . . 6
52, 3, 4nsgconj 16801 . . . . 5 NrmSGrp
653expb 1206 . . . 4 NrmSGrp
76ralrimivva 2853 . . 3 NrmSGrp
81, 7jca 534 . 2 NrmSGrp SubGrp
9 simpl 458 . . 3 SubGrp SubGrp
10 subgrcl 16773 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
1110ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
12 simprll 770 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
13 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
14 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
152, 3, 13, 14grplinv 16663 . . . . . . . . . . 11
1611, 12, 15syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1716oveq1d 6320 . . . . . . . . 9 SubGrp
182, 14grpinvcl 16662 . . . . . . . . . . 11
1911, 12, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 SubGrp
20 simprlr 771 . . . . . . . . . 10 SubGrp
212, 3grpass 16631 . . . . . . . . . 10
2211, 19, 12, 20, 21syl13anc 1266 . . . . . . . . 9 SubGrp
232, 3, 13grplid 16647 . . . . . . . . . 10
2411, 20, 23syl2anc 665 . . . . . . . . 9 SubGrp
2517, 22, 243eqtr3d 2478 . . . . . . . 8 SubGrp
2625oveq1d 6320 . . . . . . 7 SubGrp
272, 3, 4, 14, 11, 20, 12grpsubinv 16678 . . . . . . 7 SubGrp
2826, 27eqtrd 2470 . . . . . 6 SubGrp
29 simprr 764 . . . . . . 7 SubGrp
30 simplr 760 . . . . . . 7 SubGrp
31 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10
32 id 23 . . . . . . . . . 10
3331, 32oveq12d 6323 . . . . . . . . 9
3433eleq1d 2498 . . . . . . . 8
35 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
3635oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
3736eleq1d 2498 . . . . . . . 8
3834, 37rspc2va 3198 . . . . . . 7
3919, 29, 30, 38syl21anc 1263 . . . . . 6 SubGrp
4028, 39eqeltrrd 2518 . . . . 5 SubGrp
4140expr 618 . . . 4 SubGrp
4241ralrimivva 2853 . . 3 SubGrp
432, 3isnsg2 16798 . . 3 NrmSGrp SubGrp
449, 42, 43sylanbrc 668 . 2 SubGrp NrmSGrp
458, 44impbii 190 1 NrmSGrp SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084   cplusg 15152  c0g 15297  cgrp 16620  cminusg 16621  csg 16622  SubGrpcsubg 16762  NrmSGrpcnsg 16763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-nsg 16766 This theorem is referenced by:  nsgacs  16804  0nsg  16813  nsgid  16814  ghmnsgima  16857  ghmnsgpreima  16858  cntrsubgnsg  16945  clsnsg  21055
 Copyright terms: Public domain W3C validator