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Theorem isnsg3 16802
Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg3.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isnsg3.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, G, y    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16800 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 isnsg3.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 isnsg3.2 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 isnsg3.3 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
52, 3, 4nsgconj 16801 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
653expb 1206 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S )
76ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
81, 7jca 534 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
9 simpl 458 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 subgrcl 16773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
12 simprll 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
13 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
14 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
152, 3, 13, 14grplinv 16663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1611, 12, 15syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1716oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  w ) )
182, 14grpinvcl 16662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
1911, 12, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
20 simprlr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  w  e.  X )
212, 3grpass 16631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
2211, 19, 12, 20, 21syl13anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
232, 3, 13grplid 16647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  w
)  =  w )
2411, 20, 23syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  w )  =  w )
2517, 22, 243eqtr3d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) )  =  w )
2625oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( w  .-  ( ( invg `  G
) `  z )
) )
272, 3, 4, 14, 11, 20, 12grpsubinv 16678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .-  ( ( invg `  G ) `
 z ) )  =  ( w  .+  z ) )
2826, 27eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( w  .+  z ) )
29 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  S )
30 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
31 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  y )
)
32 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  ->  x  =  ( ( invg `  G ) `
 z ) )
3331, 32oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  =  ( ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  y )  .-  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )
3433eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( ( ( x 
.+  y )  .-  x )  e.  S  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
35 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  y )  =  ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  ( z  .+  w
) ) )
3635oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) ) )
3736eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  y )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
3834, 37rspc2va 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( z 
.+  w )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
)
3919, 29, 30, 38syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
)
4028, 39eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .+  z )  e.  S )
4140expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
4241ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
432, 3isnsg2 16798 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( z  .+  w )  e.  S  ->  ( w  .+  z
)  e.  S ) ) )
449, 42, 43sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)
458, 44impbii 190 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621   -gcsg 16622  SubGrpcsubg 16762  NrmSGrpcnsg 16763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-nsg 16766
This theorem is referenced by:  nsgacs  16804  0nsg  16813  nsgid  16814  ghmnsgima  16857  ghmnsgpreima  16858  cntrsubgnsg  16945  clsnsg  21055
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