MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsg2 Structured version   Unicode version

Theorem isnsg2 16790
Description: Weaken the condition of isnsg 16789 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnsg.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 isnsg.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2isnsg 16789 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) ) )
4 dfbi2 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  (
z  .+  x )  e.  S )  /\  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
54ralbii 2796 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
65ralbii 2796 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
7 r19.26-2 2895 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) ) )
86, 7bitri 252 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x  .+  z )  e.  S  ->  ( z 
.+  x )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
9 oveq2 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  y ) )
109eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
11 oveq1 6256 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( y  .+  x ) )
1211eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
1413cbvralv 2996 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
1514ralbii 2796 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
16 ralcom 2928 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. x  e.  X  ( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S ) )
17 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  y ) )
1817eleq1d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  y )  e.  S
) )
19 oveq1 6256 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
2019eleq1d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  z )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) ) )
2221cbvralv 2996 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
2322ralbii 2796 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
24 oveq1 6256 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
2524eleq1d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
26 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
2726eleq1d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
2928ralbidv 2804 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
3029cbvralv 2996 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. y  e.  X  (
( z  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3116, 23, 303bitri 274 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3215, 31anbi12i 701 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) ) )
33 anidm 648 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  S  ->  ( y 
.+  x )  e.  S ) )
348, 32, 333bitri 274 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3534anbi2i 698 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
363, 35bitri 252 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   +g cplusg 15133  SubGrpcsubg 16754  NrmSGrpcnsg 16755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fv 5552  df-ov 6252  df-subg 16757  df-nsg 16758
This theorem is referenced by:  isnsg3  16794  tgpconcomp  21069
  Copyright terms: Public domain W3C validator