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Theorem isnsg2 15829
Description: Weaken the condition of isnsg 15828 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnsg.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 isnsg.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2isnsg 15828 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) ) )
4 dfbi2 628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  (
z  .+  x )  e.  S )  /\  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
54ralbii 2838 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
65ralbii 2838 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
7 r19.26-2 2954 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) ) )
86, 7bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x  .+  z )  e.  S  ->  ( z 
.+  x )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
9 oveq2 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  y ) )
109eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
11 oveq1 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( y  .+  x ) )
1211eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
1413cbvralv 3051 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
1514ralbii 2838 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
16 ralcom 2985 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. x  e.  X  ( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S ) )
17 oveq2 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  y ) )
1817eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  y )  e.  S
) )
19 oveq1 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
2019eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  z )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) ) )
2221cbvralv 3051 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
2322ralbii 2838 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
24 oveq1 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
2524eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
26 oveq2 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
2726eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
2928ralbidv 2845 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
3029cbvralv 3051 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. y  e.  X  (
( z  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3116, 23, 303bitri 271 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3215, 31anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) ) )
33 anidm 644 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  S  ->  ( y 
.+  x )  e.  S ) )
348, 32, 333bitri 271 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3534anbi2i 694 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
363, 35bitri 249 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   +g cplusg 14356  SubGrpcsubg 15793  NrmSGrpcnsg 15794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6202  df-subg 15796  df-nsg 15797
This theorem is referenced by:  isnsg3  15833  tgpconcomp  19814
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