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Theorem isnsg2 15702
Description: Weaken the condition of isnsg 15701 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnsg.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 isnsg.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2isnsg 15701 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) ) )
4 dfbi2 628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  (
z  .+  x )  e.  S )  /\  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
54ralbii 2734 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
65ralbii 2734 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
7 r19.26-2 2845 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) ) )
86, 7bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x  .+  z )  e.  S  ->  ( z 
.+  x )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
9 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  y ) )
109eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
11 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( y  .+  x ) )
1211eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
1413cbvralv 2942 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
1514ralbii 2734 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
16 ralcom 2876 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. x  e.  X  ( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S ) )
17 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  y ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  y )  e.  S
) )
19 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
2019eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  z )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) ) )
2221cbvralv 2942 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
2322ralbii 2734 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
24 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
2524eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
26 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
2726eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
2928ralbidv 2730 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
3029cbvralv 2942 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. y  e.  X  (
( z  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3116, 23, 303bitri 271 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3215, 31anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) ) )
33 anidm 644 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  S  ->  ( y 
.+  x )  e.  S ) )
348, 32, 333bitri 271 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3534anbi2i 694 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
363, 35bitri 249 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  SubGrpcsubg 15666  NrmSGrpcnsg 15667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-subg 15669  df-nsg 15670
This theorem is referenced by:  isnsg3  15706  tgpconcomp  19663
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