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Theorem isnsg 16079
Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg
Dummy variables  g 
b  p  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nsg 16048 . . . 4  |- NrmSGrp  =  ( g  e.  Grp  |->  { s  e.  (SubGrp `  g )  |  [. ( Base `  g )  /  b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <->  ( y p x )  e.  s ) } )
21dmmptss 5508 . . 3  |-  dom NrmSGrp  C_  Grp
3 elfvdm 5897 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  dom NrmSGrp )
42, 3sseldi 3507 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 subgrcl 16055 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
7 fveq2 5871 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (SubGrp `  g )  =  (SubGrp `  G ) )
8 fvex 5881 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  e. 
_V )
10 fveq2 5871 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
11 isnsg.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
1210, 11syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  X )
13 fvex 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  g )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  e.  _V )
15 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  g  =  G )
1615fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  ( +g  `  G ) )
17 isnsg.2 . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  .+  )
19 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  b  =  X )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
2120oveqd 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
2221eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( x p y )  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  s ) )
2320oveqd 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
y p x )  =  ( y  .+  x ) )
2423eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( y p x )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) )
2522, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2619, 25raleqbidv 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2719, 26raleqbidv 3077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2814, 18, 27sbcied2 3374 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
299, 12, 28sbcied2 3374 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  b ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
307, 29rabeqbidv 3113 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  { s  e.  (SubGrp `  g
)  |  [. ( Base `  g )  / 
b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s ) }  =  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
31 fvex 5881 . . . . . 6  |-  (SubGrp `  G )  e.  _V
3231rabex 4603 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) }  e.  _V
3330, 1, 32fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  =  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
3433eleq2d 2537 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } ) )
35 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
36 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  .+  x
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
3735, 36bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
38372ralbidv 2911 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
3938elrab 3266 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) }  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
4034, 39syl6bb 261 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) ) )
414, 6, 40pm5.21nii 353 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   dom cdm 5004   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   Grpcgrp 15902  SubGrpcsubg 16044  NrmSGrpcnsg 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6297  df-subg 16047  df-nsg 16048
This theorem is referenced by:  isnsg2  16080  nsgbi  16081  nsgsubg  16082  isnsg4  16093  nmznsg  16094  ablnsg  16703  rzgrp  22784
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