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Theorem isnsg 15715
Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg
Dummy variables  g 
b  p  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nsg 15684 . . . 4  |- NrmSGrp  =  ( g  e.  Grp  |->  { s  e.  (SubGrp `  g )  |  [. ( Base `  g )  /  b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <->  ( y p x )  e.  s ) } )
21dmmptss 5339 . . 3  |-  dom NrmSGrp  C_  Grp
3 elfvdm 5721 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  dom NrmSGrp )
42, 3sseldi 3359 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 subgrcl 15691 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
7 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (SubGrp `  g )  =  (SubGrp `  G ) )
8 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  e. 
_V )
10 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
11 isnsg.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
1210, 11syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  X )
13 fvex 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  g )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  e.  _V )
15 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  g  =  G )
1615fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  ( +g  `  G ) )
17 isnsg.2 . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  .+  )
19 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  b  =  X )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
2120oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
2221eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( x p y )  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  s ) )
2320oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
y p x )  =  ( y  .+  x ) )
2423eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( y p x )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) )
2522, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2619, 25raleqbidv 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2719, 26raleqbidv 2936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2814, 18, 27sbcied2 3229 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
299, 12, 28sbcied2 3229 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  b ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
307, 29rabeqbidv 2972 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  { s  e.  (SubGrp `  g
)  |  [. ( Base `  g )  / 
b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s ) }  =  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
31 fvex 5706 . . . . . 6  |-  (SubGrp `  G )  e.  _V
3231rabex 4448 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) }  e.  _V
3330, 1, 32fvmpt 5779 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  =  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
3433eleq2d 2510 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } ) )
35 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
36 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  .+  x
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
3735, 36bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
38372ralbidv 2762 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
3938elrab 3122 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) }  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
4034, 39syl6bb 261 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) ) )
414, 6, 40pm5.21nii 353 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   [.wsbc 3191   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   Grpcgrp 15415  SubGrpcsubg 15680  NrmSGrpcnsg 15681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ov 6099  df-subg 15683  df-nsg 15684
This theorem is referenced by:  isnsg2  15716  nsgbi  15717  nsgsubg  15718  isnsg4  15729  nmznsg  15730  ablnsg  16334
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