Theorem isnsg 16839

Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg

Dummy variables g b p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nsg 16808	. . . 4 |- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } )
2	1	dmmptss 5330	. . 3 |- dom NrmSGrp C_ Grp
3		elfvdm 5889	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. dom NrmSGrp )
4	2, 3	sseldi 3429	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
5		subgrcl 16815	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
6	5	adantr 467	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp )
7		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( g = G -> (SubGrp ` g ) = (SubGrp ` G ) )
8		fvex 5873	. . . . . . . 8 |- ( Base ` g ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
10		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
11		isnsg.1	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
12	10, 11	syl6eqr 2502	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = X )
13		fvex 5873	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` g ) e. _V
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V )
15		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G )
16	15	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
17		isnsg.2	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
18	16, 17	syl6eqr 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ )
19		simplr 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X )
20		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
21	20	oveqd 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
22	21	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) )
23	20	oveqd 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) )
24	23	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) )
25	22, 24	bibi12d 323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
26	19, 25	raleqbidv 3000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
27	19, 26	raleqbidv 3000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
28	14, 18, 27	sbcied2 3304	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
29	9, 12, 28	sbcied2 3304	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
30	7, 29	rabeqbidv 3039	. . . . 5 |- ( g = G -> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
31		fvex 5873	. . . . . 6 |- (SubGrp ` G ) e. _V
32	31	rabex 4553	. . . . 5 |- { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V
33	30, 1, 32	fvmpt 5946	. . . 4 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
34	33	eleq2d 2513	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) )
35		eleq2 2517	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) )
36		eleq2 2517	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) )
37	35, 36	bibi12d 323	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
38	37	2ralbidv 2831	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
39	38	elrab 3195	. . 3 |- ( S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
40	34, 39	syl6bb 265	. 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) )
41	4, 6, 40	pm5.21nii 355	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 3044   [.wsbc 3266   dom cdm 4833   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   Grpcgrp 16662  SubGrpcsubg 16804  NrmSGrpcnsg 16805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6291  df-subg 16807  df-nsg 16808

This theorem is referenced by:  isnsg2  16840  nsgbi  16841  nsgsubg  16842  isnsg4  16853  nmznsg  16854  ablnsg  17478  rzgrp  23496