Theorem isnsg 16079

Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg

Dummy variables g b p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nsg 16048	. . . 4 |- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } )
2	1	dmmptss 5508	. . 3 |- dom NrmSGrp C_ Grp
3		elfvdm 5897	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. dom NrmSGrp )
4	2, 3	sseldi 3507	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
5		subgrcl 16055	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
6	5	adantr 465	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp )
7		fveq2 5871	. . . . . 6 |- ( g = G -> (SubGrp ` g ) = (SubGrp ` G ) )
8		fvex 5881	. . . . . . . 8 |- ( Base ` g ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
10		fveq2 5871	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
11		isnsg.1	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
12	10, 11	syl6eqr 2526	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = X )
13		fvex 5881	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` g ) e. _V
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V )
15		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G )
16	15	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
17		isnsg.2	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
18	16, 17	syl6eqr 2526	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ )
19		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X )
20		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
21	20	oveqd 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
22	21	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) )
23	20	oveqd 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) )
24	23	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) )
25	22, 24	bibi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
26	19, 25	raleqbidv 3077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
27	19, 26	raleqbidv 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
28	14, 18, 27	sbcied2 3374	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
29	9, 12, 28	sbcied2 3374	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
30	7, 29	rabeqbidv 3113	. . . . 5 |- ( g = G -> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
31		fvex 5881	. . . . . 6 |- (SubGrp ` G ) e. _V
32	31	rabex 4603	. . . . 5 |- { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V
33	30, 1, 32	fvmpt 5956	. . . 4 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
34	33	eleq2d 2537	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) )
35		eleq2 2540	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) )
36		eleq2 2540	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) )
37	35, 36	bibi12d 321	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
38	37	2ralbidv 2911	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
39	38	elrab 3266	. . 3 |- ( S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
40	34, 39	syl6bb 261	. 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) )
41	4, 6, 40	pm5.21nii 353	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   dom cdm 5004   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   Grpcgrp 15902  SubGrpcsubg 16044  NrmSGrpcnsg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6297  df-subg 16047  df-nsg 16048

This theorem is referenced by:  isnsg2  16080  nsgbi  16081  nsgsubg  16082  isnsg4  16093  nmznsg  16094  ablnsg  16703  rzgrp  22784