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Theorem isnrm3 19654
Description: A topological space is normal iff any two disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    c, d, x, y, J

Proof of Theorem isnrm3
StepHypRef Expression
1 nrmtop 19631 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep 19652 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
323exp2 1214 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
43impd 431 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2884 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
61, 5jca 532 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
c  C_  x )
9 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
d  C_  y )
10 sslin 3724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d 
C_  y  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )
)
12 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Top )
13 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  J )
14 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
1514opncld 19328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1612, 13, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
17 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
18 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
19 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
20 reldisj 3870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. J  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \  y
) ) )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \ 
y ) ) )
2217, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  C_  ( U. J  \  y ) )
2314clsss2 19367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  C_  ( U. J  \  y ) )
24 ssdifin0 3908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  C_  ( U. J  \ 
y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y )  =  (/) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i  y )  =  (/) )
2616, 22, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )
27 sseq0 3817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  =  (/) )
2811, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) )
298, 28jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3130rexlimdva 2955 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3231reximdva 2938 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3332imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3433ralimdv 2874 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3534ralimdv 2874 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3635imp 429 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
37 isnrm2 19653 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
387, 36, 37sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
396, 38impbii 188 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19189   Clsdccld 19311   clsccl 19313   Nrmcnrm 19605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-top 19194  df-cld 19314  df-cls 19316  df-nrm 19612
This theorem is referenced by:  metnrm  21129
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