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Theorem isnrm2 20373
Description: An alternate characterization of normality. This is the important property in the proof of Urysohn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable group:    c, d, o, J

Proof of Theorem isnrm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 20351 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep2 20371 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )
323exp2 1223 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) ) ) ) )
43impd 432 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2842 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
61, 5jca 534 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
98opncld 20047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
109adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
11 ineq2 3658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
c  i^i  d )  =  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1211eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
13 ineq2 3658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1413eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
1514anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1615rexbidv 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  ( E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1712, 16imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1817rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1910, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
20 inssdif0 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  i^i  U. J
)  C_  x  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
218cldss 20043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  c  C_  U. J )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  c  C_  U. J )
23 df-ss 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c 
C_  U. J  <->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2422, 23sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2524sseq1d 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  c  C_  x ) )
2620, 25syl5bbr 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  c  C_  x
) )
27 inssdif0 3864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  C_  x 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
28 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  J  e.  Top )
29 elssuni 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
308clsss3 20073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  U. J )
3128, 29, 30syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J )
32 df-ss 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J  <->  ( (
( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3331, 32sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3433sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  o )  C_  x
) )
3527, 34syl5bbr 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
)
3635anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3736rexbidva 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( E. o  e.  J  (
c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3826, 37imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )  <->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
3919, 38sylibd 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
4039ralimdva 2830 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J ) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
41 elin 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  e.  ~P x ) )
42 selpw 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P x  <->  c  C_  x )
4342anbi2i 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  e.  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4441, 43bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4544imbi1i 326 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
46 impexp 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4745, 46bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4847ralbii2 2851 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i 
~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x )  <->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
4940, 48syl6ibr 230 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5049ralrimdva 2840 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
5150imp 430 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )
52 isnrm 20350 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
537, 51, 52sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
546, 53impbii 190 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   U.cuni 4219   ` cfv 5601   Topctop 19916   Clsdccld 20030   clsccl 20032   Nrmcnrm 20325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-top 19920  df-cld 20033  df-cls 20035  df-nrm 20332
This theorem is referenced by:  isnrm3  20374
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