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Theorem isnrm2 20451
Description: An alternate characterization of normality. This is the important property in the proof of Urysohn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable group:    c, d, o, J

Proof of Theorem isnrm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 20429 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep2 20449 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )
323exp2 1251 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) ) ) ) )
43impd 438 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2813 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
61, 5jca 541 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 464 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
98opncld 20125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
109adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
11 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
c  i^i  d )  =  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1211eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
13 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1413eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
1514anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1615rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  ( E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1712, 16imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1817rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1910, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
20 inssdif0 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  i^i  U. J
)  C_  x  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
218cldss 20121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  c  C_  U. J )
2221adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  c  C_  U. J )
23 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c 
C_  U. J  <->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2422, 23sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2524sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  c  C_  x ) )
2620, 25syl5bbr 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  c  C_  x
) )
27 inssdif0 3746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  C_  x 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
28 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  J  e.  Top )
29 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
308clsss3 20151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  U. J )
3128, 29, 30syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J )
32 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J  <->  ( (
( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3331, 32sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3433sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  o )  C_  x
) )
3527, 34syl5bbr 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
)
3635anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3736rexbidva 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( E. o  e.  J  (
c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3826, 37imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )  <->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
3919, 38sylibd 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
4039ralimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J ) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
41 elin 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  e.  ~P x ) )
42 selpw 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P x  <->  c  C_  x )
4342anbi2i 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  e.  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4441, 43bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4544imbi1i 332 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
46 impexp 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4745, 46bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4847ralbii2 2821 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i 
~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x )  <->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
4940, 48syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5049ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
5150imp 436 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )
52 isnrm 20428 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
537, 51, 52sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
546, 53impbii 192 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Nrmcnrm 20403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-cld 20111  df-cls 20113  df-nrm 20410
This theorem is referenced by:  isnrm3  20452
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