Theorem isnirred 17871

Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irred.1	|- B = ( Base ` R )
irred.2	|- U = (Unit ` R )
irred.3	|- I = (Irred ` R )
irred.4	|- N = ( B \ U )
irred.5	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnirred	|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, N   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .x. ( x, y)   U( x, y)   I( x, y)

Proof of Theorem isnirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irred.4	. . . . . . 7 |- N = ( B \ U )
2	1	eleq2i 2498	. . . . . 6 |- ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) )
3		eldif 3389	. . . . . 6 |- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
4	2, 3	bitri 252	. . . . 5 |- ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
5	4	baibr 912	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) )
6		df-ne 2601	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
7	6	ralbii 2796	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X )
8		ralnex 2811	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
9	7, 8	bitri 252	. . . . . . 7 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
10	9	ralbii 2796	. . . . . 6 |- ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
11		ralnex 2811	. . . . . 6 |- ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X )
12	10, 11	bitr2i 253	. . . . 5 |- ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
14	5, 13	anbi12d 715	. . 3 |- ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) )
15		ioran 492	. . 3 |- ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) )
16		irred.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
17		irred.2	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
18		irred.3	. . . 4 |- I = (Irred ` R )
19		irred.5	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
20	16, 17, 18, 1, 19	isirred 17870	. . 3 |- ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
21	14, 15, 20	3bitr4g 291	. 2 |- ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) )
22	21	con1bid 331	1 |- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   \ cdif 3376   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   .rcmulr 15134  Unitcui 17810  Irredcir 17811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fv 5552  df-ov 6252  df-irred 17814

This theorem is referenced by:  irredn0  17874  irredrmul  17878