Theorem isnirred 16916

Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irred.1	|- B = ( Base ` R )
irred.2	|- U = (Unit ` R )
irred.3	|- I = (Irred ` R )
irred.4	|- N = ( B \ U )
irred.5	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnirred	|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, N   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .x. ( x, y)   U( x, y)   I( x, y)

Proof of Theorem isnirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irred.4	. . . . . . 7 |- N = ( B \ U )
2	1	eleq2i 2532	. . . . . 6 |- ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) )
3		eldif 3447	. . . . . 6 |- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
4	2, 3	bitri 249	. . . . 5 |- ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
5	4	baibr 897	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) )
6		df-ne 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
7	6	ralbii 2839	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X )
8		ralnex 2852	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
9	7, 8	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
10	9	ralbii 2839	. . . . . 6 |- ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
11		ralnex 2852	. . . . . 6 |- ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X )
12	10, 11	bitr2i 250	. . . . 5 |- ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
14	5, 13	anbi12d 710	. . 3 |- ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) )
15		ioran 490	. . 3 |- ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) )
16		irred.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
17		irred.2	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
18		irred.3	. . . 4 |- I = (Irred ` R )
19		irred.5	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
20	16, 17, 18, 1, 19	isirred 16915	. . 3 |- ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
21	14, 15, 20	3bitr4g 288	. 2 |- ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) )
22	21	con1bid 330	1 |- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   \ cdif 3434   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   .rcmulr 14359  Unitcui 16855  Irredcir 16856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-ov 6204  df-irred 16859

This theorem is referenced by:  irredn0  16919  irredrmul  16923