Theorem isnirred 17544

Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irred.1	|- B = ( Base ` R )
irred.2	|- U = (Unit ` R )
irred.3	|- I = (Irred ` R )
irred.4	|- N = ( B \ U )
irred.5	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnirred	|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, N   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .x. ( x, y)   U( x, y)   I( x, y)

Proof of Theorem isnirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irred.4	. . . . . . 7 |- N = ( B \ U )
2	1	eleq2i 2532	. . . . . 6 |- ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) )
3		eldif 3471	. . . . . 6 |- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
4	2, 3	bitri 249	. . . . 5 |- ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
5	4	baibr 902	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) )
6		df-ne 2651	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
7	6	ralbii 2885	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X )
8		ralnex 2900	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
9	7, 8	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
10	9	ralbii 2885	. . . . . 6 |- ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
11		ralnex 2900	. . . . . 6 |- ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X )
12	10, 11	bitr2i 250	. . . . 5 |- ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
14	5, 13	anbi12d 708	. . 3 |- ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) )
15		ioran 488	. . 3 |- ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) )
16		irred.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
17		irred.2	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
18		irred.3	. . . 4 |- I = (Irred ` R )
19		irred.5	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
20	16, 17, 18, 1, 19	isirred 17543	. . 3 |- ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
21	14, 15, 20	3bitr4g 288	. 2 |- ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) )
22	21	con1bid 328	1 |- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   \ cdif 3458   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   .rcmulr 14785  Unitcui 17483  Irredcir 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-irred 17487

This theorem is referenced by:  irredn0  17547  irredrmul  17551