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Theorem isngp4 20103
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp4  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    z,  .+    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20091 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 20092 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 ngprcan.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
63, 4, 5ngprcan 20101 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
76ralrimivvva 2807 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
81, 2, 73jca 1163 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
9 simp1 983 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  Grp )
10 simp2 984 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  MetSp )
11 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
123, 11grpinvcl 15576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
1312ad2ant2rl 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
14 eqcom 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) ) )
15 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
16 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
1715, 16oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) )
1817eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( x D y )  =  ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
1914, 18syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
2019rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  -> 
( A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
22 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
233, 4, 11, 22grpsubval 15574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  =  ( x  .+  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
2423adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  =  ( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) )
2524eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .+  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( x (
-g `  G )
y ) )
26 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
273, 4, 26, 11grprinv 15578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .+  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
2827ad2ant2rl 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y  .+  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
2925, 28oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) )  =  ( ( x ( -g `  G ) y ) D ( 0g `  G ) ) )
303, 22grpsubcl 15599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  e.  X )
31303expb 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
3231adantlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
33 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
3433, 3, 26, 5nmval 20082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e.  X  ->  ( ( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3629, 35eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) )
3736eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )  <->  ( x D y )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) ) )
3821, 37sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
3938anassrs 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4039ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4140ralimdva 2792 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
42413impia 1179 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) )
4333, 22, 5, 3isngp3 20090 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( ( norm `  G ) `  (
x ( -g `  G
) y ) ) ) )
449, 10, 42, 43syl3anbrc 1167 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e. NrmGrp )
458, 44impbii 188 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   distcds 14243   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409   MetSpcmt 19793   normcnm 20069  NrmGrpcngp 20070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-xms 19795  df-ms 19796  df-nm 20075  df-ngp 20076
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