Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Unicode version

Theorem isngp4 20997
 Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x
ngprcan.p
ngprcan.d
Assertion
Ref Expression
isngp4 NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20985 . . 3 NrmGrp
2 ngpms 20986 . . 3 NrmGrp
3 ngprcan.x . . . . 5
4 ngprcan.p . . . . 5
5 ngprcan.d . . . . 5
63, 4, 5ngprcan 20995 . . . 4 NrmGrp
76ralrimivvva 2863 . . 3 NrmGrp
81, 2, 73jca 1175 . 2 NrmGrp
9 simp1 995 . . 3
10 simp2 996 . . 3
11 eqid 2441 . . . . . . . . 9
123, 11grpinvcl 15964 . . . . . . . 8
1312ad2ant2rl 748 . . . . . . 7
14 eqcom 2450 . . . . . . . . 9
15 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11
16 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11
1715, 16oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10
1817eqeq2d 2455 . . . . . . . . 9
1914, 18syl5bb 257 . . . . . . . 8
2019rspcv 3190 . . . . . . 7
2113, 20syl 16 . . . . . 6
22 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12
233, 4, 11, 22grpsubval 15962 . . . . . . . . . . 11
2423adantl 466 . . . . . . . . . 10
2524eqcomd 2449 . . . . . . . . 9
26 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11
273, 4, 26, 11grprinv 15966 . . . . . . . . . 10
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9
2925, 28oveq12d 6295 . . . . . . . 8
303, 22grpsubcl 15987 . . . . . . . . . . 11
31303expb 1196 . . . . . . . . . 10
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9
33 eqid 2441 . . . . . . . . . 10
3433, 3, 26, 5nmval 20976 . . . . . . . . 9
3532, 34syl 16 . . . . . . . 8
3629, 35eqtr4d 2485 . . . . . . 7
3736eqeq2d 2455 . . . . . 6
3821, 37sylibd 214 . . . . 5
3938ralimdvva 2852 . . . 4
40393impia 1192 . . 3
4133, 22, 5, 3isngp3 20984 . . 3 NrmGrp
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1179 . 2 NrmGrp
438, 42impbii 188 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  wral 2791  cfv 5574  (class class class)co 6277  cbs 14504   cplusg 14569  cds 14578  c0g 14709  cgrp 15922  cminusg 15923  csg 15924  cmt 20687  cnm 20963  NrmGrpcngp 20964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-0g 14711  df-topgen 14713  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-xms 20689  df-ms 20690  df-nm 20969  df-ngp 20970 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator