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Theorem isngp4 20203
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp4  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    z,  .+    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20191 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 20192 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 ngprcan.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
63, 4, 5ngprcan 20201 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
76ralrimivvva 2809 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
81, 2, 73jca 1168 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
9 simp1 988 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  Grp )
10 simp2 989 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  MetSp )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
123, 11grpinvcl 15583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
1312ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
14 eqcom 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) ) )
15 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
16 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
1715, 16oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) )
1817eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( x D y )  =  ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
1914, 18syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
2019rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  -> 
( A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ) ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
233, 4, 11, 22grpsubval 15581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  =  ( x  .+  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  =  ( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) )
2524eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .+  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( x (
-g `  G )
y ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
273, 4, 26, 11grprinv 15585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .+  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y  .+  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
2925, 28oveq12d 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) )  =  ( ( x ( -g `  G ) y ) D ( 0g `  G ) ) )
303, 22grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  e.  X )
31303expb 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
3231adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
3433, 3, 26, 5nmval 20182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e.  X  ->  ( ( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3629, 35eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( invg `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) )
3736eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( invg `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )  <->  ( x D y )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) ) )
3821, 37sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
3938anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4039ralimdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4140ralimdva 2794 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
42413impia 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) )
4333, 22, 5, 3isngp3 20190 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( ( norm `  G ) `  (
x ( -g `  G
) y ) ) ) )
449, 10, 42, 43syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e. NrmGrp )
458, 44impbii 188 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   distcds 14247   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   -gcsg 15413   MetSpcmt 19893   normcnm 20169  NrmGrpcngp 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-0g 14380  df-topgen 14382  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-xms 19895  df-ms 19896  df-nm 20175  df-ngp 20176
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