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Theorem isngp3 20188
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
isngp.z  |-  .-  =  ( -g `  G )
isngp.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
isngp2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x,  .- , y    x, N, y   
x, X, y

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 isngp.z . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 isngp.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  G
)
4 isngp2.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2441 . . 3  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) )
61, 2, 3, 4, 5isngp2 20187 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
74, 3msmet2 20033 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
81, 4, 3, 5nmf2 20183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )  ->  N : X --> RR )
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  N : X --> RR )
104, 2grpsubf 15603 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
12 fco 5566 . . . . . . . 8  |-  ( ( N : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
139, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
14 ffn 5557 . . . . . . 7  |-  ( ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X ) )
167adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )
17 metf 19903 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
18 ffn 5557 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) ) : ( X  X.  X
) --> RR  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X ) )
20 eqfnov2 6195 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
2115, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
22 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
) )
23 fvco3 5766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y >. )
) )
2411, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. x ,  y >.
) ) )
25 df-ov 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )
26 df-ov 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
.-  y )  =  (  .-  `  <. x ,  y >. )
2726fveq2i 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y
>. ) )
2824, 25, 273eqtr4g 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
29 ovres 6228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3128, 30eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( x D y ) ) )
32 eqcom 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( x 
.-  y ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
3331, 32syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
34332ralbidva 2753 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( N  o.  .-  )
y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
3521, 34bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
3635pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
37 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
38 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
3936, 37, 383bitr4i 277 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
406, 39bitri 249 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   <.cop 3881    X. cxp 4836    |` cres 4840    o. ccom 4842    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RRcr 9279   Basecbs 14172   distcds 14245   Grpcgrp 15408   -gcsg 15411   Metcme 17800   MetSpcmt 19891   normcnm 20167  NrmGrpcngp 20168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-0g 14378  df-topgen 14380  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-xms 19893  df-ms 19894  df-nm 20173  df-ngp 20174
This theorem is referenced by:  isngp4  20201  subgngp  20219
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