MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Unicode version

Theorem isngp3 21243
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
isngp.z  |-  .-  =  ( -g `  G )
isngp.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
isngp2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x,  .- , y    x, N, y   
x, X, y

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 isngp.z . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 isngp.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  G
)
4 isngp2.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2457 . . 3  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) )
61, 2, 3, 4, 5isngp2 21242 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
74, 3msmet2 21088 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
81, 4, 3, 5nmf2 21238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )  ->  N : X --> RR )
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  N : X --> RR )
104, 2grpsubf 16243 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
12 fco 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( N : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
139, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
14 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X ) )
167adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )
17 metf 20958 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
18 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) ) : ( X  X.  X
) --> RR  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X ) )
20 eqfnov2 6408 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
2115, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
22 opelxpi 5040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
) )
23 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y >. )
) )
2411, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. x ,  y >.
) ) )
25 df-ov 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )
26 df-ov 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
.-  y )  =  (  .-  `  <. x ,  y >. )
2726fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y
>. ) )
2824, 25, 273eqtr4g 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
29 ovres 6441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3128, 30eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( x D y ) ) )
32 eqcom 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( x 
.-  y ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
3331, 32syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
34332ralbidva 2899 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( N  o.  .-  )
y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
3521, 34bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
3635pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
37 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
38 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
3936, 37, 383bitr4i 277 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
406, 39bitri 249 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   <.cop 4038    X. cxp 5006    |` cres 5010    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   Basecbs 14643   distcds 14720   Grpcgrp 16179   -gcsg 16181   Metcme 18530   MetSpcmt 20946   normcnm 21222  NrmGrpcngp 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229
This theorem is referenced by:  isngp4  21256  subgngp  21274
  Copyright terms: Public domain W3C validator