Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Unicode version

Theorem isngp3 21243
 Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n
isngp.z
isngp.d
isngp2.x
Assertion
Ref Expression
isngp3 NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3
2 isngp.z . . 3
3 isngp.d . . 3
4 isngp2.x . . 3
5 eqid 2457 . . 3
61, 2, 3, 4, 5isngp2 21242 . 2 NrmGrp
74, 3msmet2 21088 . . . . . . . . 9
81, 4, 3, 5nmf2 21238 . . . . . . . . 9
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8
104, 2grpsubf 16243 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
12 fco 5747 . . . . . . . 8
139, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7
14 ffn 5737 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
167adantl 466 . . . . . . 7
17 metf 20958 . . . . . . 7
18 ffn 5737 . . . . . . 7
1916, 17, 183syl 20 . . . . . 6
20 eqfnov2 6408 . . . . . 6
2115, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5
22 opelxpi 5040 . . . . . . . . . 10
23 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10
2411, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9
25 df-ov 6299 . . . . . . . . 9
26 df-ov 6299 . . . . . . . . . 10
2726fveq2i 5875 . . . . . . . . 9
2824, 25, 273eqtr4g 2523 . . . . . . . 8
29 ovres 6441 . . . . . . . . 9
3029adantl 466 . . . . . . . 8
3128, 30eqeq12d 2479 . . . . . . 7
32 eqcom 2466 . . . . . . 7
3331, 32syl6bb 261 . . . . . 6
34332ralbidva 2899 . . . . 5
3521, 34bitrd 253 . . . 4
3635pm5.32i 637 . . 3
37 df-3an 975 . . 3
38 df-3an 975 . . 3
3936, 37, 383bitr4i 277 . 2
406, 39bitri 249 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cop 4038   cxp 5006   cres 5010   ccom 5012   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cbs 14643  cds 14720  cgrp 16179  csg 16181  cme 18530  cmt 20946  cnm 21222  NrmGrpcngp 21223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229 This theorem is referenced by:  isngp4  21256  subgngp  21274
 Copyright terms: Public domain W3C validator