Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnghmOLD Structured version   Unicode version

Theorem isnghmOLD 21744
 Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) Obsolete version of isnghm 21726 as of 26-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofvalOLD.1
Assertion
Ref Expression
isnghmOLD NGHom NrmGrp NrmGrp

Proof of Theorem isnghmOLD
StepHypRef Expression
1 nmofvalOLD.1 . . . 4
21nghmfvalOLD 21743 . . 3 NGHom
32eleq2i 2499 . 2 NGHom
4 n0i 3766 . . . 4
5 nmoffnOLD 21735 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp NrmGrp
6 fndm 5693 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp NrmGrp NrmGrp NrmGrp
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp
87ndmov 6467 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp
91, 8syl5eq 2475 . . . . . . . 8 NrmGrp NrmGrp
109cnveqd 5029 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
11 cnv0 5258 . . . . . . 7
1210, 11syl6eq 2479 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
1312imaeq1d 5186 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
14 0ima 5203 . . . . 5
1513, 14syl6eq 2479 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
164, 15nsyl2 130 . . 3 NrmGrp NrmGrp
171nmofOLD 21740 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
18 ffn 5746 . . . 4
19 elpreima 6017 . . . 4
2017, 18, 193syl 18 . . 3 NrmGrp NrmGrp
2116, 20biadan2 646 . 2 NrmGrp NrmGrp
223, 21bitri 252 1 NGHom NrmGrp NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  c0 3761   cxp 4851  ccnv 4852   cdm 4853  cima 4856   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545  cxr 9681   cghm 16879  NrmGrpcngp 21590  cnmoold 21705   NGHom cnghmold 21707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-ico 11648  df-nmoOLD 21710  df-nghmOLD 21712 This theorem is referenced by:  isnghm2OLD  21745  nmoiOLD  21747
 Copyright terms: Public domain W3C validator