Theorem isnei 8994

Description: The predicate "N is a neighborhood of S." (Contributed by FL, 25-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isnei	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))

Distinct variable groups:   g,J   g,N   S,g   g,X

Proof of Theorem isnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	neival 8993	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v))})
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> N e. {v | (v C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v))}))
4		ssexg 3457	. . . . . . 7 |- ((N C_ X /\ X e. _V) -> N e. _V)
5		uniexg 3795	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
6	5, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. _V)
7	4, 6	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((N C_ X /\ J e. Top) -> N e. _V)
8	7	expcom 403	. . . . 5 |- (J e. Top -> (N C_ X -> N e. _V))
9	8	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N C_ X -> N e. _V))
10	9	adantrd 427	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N)) -> N e. _V))
11		sseq1 2637	. . . . 5 |- (v = N -> (v C_ X <-> N C_ X))
12		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (v = N -> (g C_ v <-> g C_ N))
13	12	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (v = N -> ((S C_ g /\ g C_ v) <-> (S C_ g /\ g C_ N)))
14	13	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (v = N -> (E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v) <-> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N)))
15	11, 14	anbi12d 690	. . . 4 |- (v = N -> ((v C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v)) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
16	15	elab3g 2409	. . 3 |- (((N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N)) -> N e. _V) -> (N e. {v | (v C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v))} <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
17	10, 16	syl 12	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. {v | (v C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ v))} <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
18	3, 17	bitrd 587	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neiint 8995  isneip 8996  neii1 8997  neii2 8998  neiss 8999  neips 9003  opnneissb 9004  opnssneib 9005  ssnei2 9006  innei 9012  flimopn 10321  osneisi 14875  neifg 15559

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain