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Theorem isnacs3 30570
Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnacs3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isnacs3
Dummy variables  g  h  i  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nacsacs 30569 . . . 4  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 14928 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
3 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (NoeACS `  X ) )
41ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
5 elpwi 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
65ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  s  C_  C )
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  (toInc `  s
)  e. Dirset )
8 acsdrsel 15671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  C_  C  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C
)
94, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  C )
10 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
1110nacsfg 30565 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  U. s  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)
1310mrefg2 30567 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
142, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1612, 15mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
17 elfpw 7834 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  <->  ( g  C_ 
U. s  /\  g  e.  Fin ) )
18 fissuni 7837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  C_  U. s  /\  g  e.  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g  C_  U. h
)
1917, 18sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
g  C_  U. h
)
20 elfpw 7834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  <->  ( h  C_  s  /\  h  e. 
Fin ) )
21 ipodrsfi 15667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  C_  s  /\  h  e.  Fin )  ->  E. i  e.  s 
U. h  C_  i
)
22213expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  ( h  C_  s  /\  h  e.  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
2320, 22sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
24 sstr 3517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  C_  U. h  /\  U. h  C_  i
)  ->  g  C_  i )
2524ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h
)  ->  g  C_  i )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
272ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  g  C_  i )
295ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  s  C_  C )
30 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  s )
3129, 30sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  C )
3210mrcsscl 14892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  i  /\  i  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3327, 28, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  i )
3526, 34eqsstrd 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  C_  i )
36 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  e.  s )
37 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  s  ->  i  C_ 
U. s )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  C_  U. s )
3935, 38eqssd 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  i )
4039, 36eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  e.  s )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
4241expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( g  C_  i  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4325, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4443expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4544rexlimdva 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( E. i  e.  s  U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4623, 45syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4746expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  ->  (
g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4847rexlimdv 2957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g 
C_  U. h  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4919, 48syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
5049rexlimdv 2957 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
5116, 50mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  s )
5251ex 434 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
5352ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
542, 53jca 532 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
55 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
565adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
5756sseld 3508 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( U. s  e.  s  ->  U. s  e.  C ) )
5857imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
5958ralimdva 2875 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6059imp 429 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
61 isacs3 15678 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6255, 60, 61sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (ACS `  X
) )
6310mrcid 14885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  t )  =  t )
6463adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  t )
6562adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
66 mress 14865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6865, 10, 67acsficld 15679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
6964, 68eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  =  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
7010mrcf 14881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
) : ~P X --> C )
71 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7372adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (mrCls `  C )  Fn  ~P X )
7410mrcss 14888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  h  /\  h  C_  X )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  (
(mrCls `  C ) `  h ) )
75743expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
7675adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
77 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
78 fpwipodrs 15668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
7977, 78mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
80 inss1 3723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P t
81 sspwb 4702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t 
C_  X  <->  ~P t  C_ 
~P X )
8266, 81sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ~P t  C_  ~P X )
8380, 82syl5ss 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
84 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
85 imaexg 6732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C )  e.  _V  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
_V )
8873, 76, 79, 83, 87ipodrsima 15669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
8988adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
90 imassrn 5354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  ran  (mrCls `  C )
91 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9270, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9390, 92syl5ss 3520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  C )
9586elpw 4022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C  <->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9694, 95sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C )
9796adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C
)
98 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
99 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  (toInc `  s
)  =  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) ) )
10099eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  <->  (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset ) )
101 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  U. s  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
102 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
103101, 102eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( U. s  e.  s  <->  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e.  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
104100, 103imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (
(toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  <->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) ) )
105104rspcva 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10697, 98, 105syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10789, 106mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
10869, 107eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
109 fvelimab 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mrCls `  C )  Fn  ~P X  /\  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )  -> 
( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
11073, 83, 109syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
111110adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
112108, 111mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
113 eqcom 2476 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
114113rexbii 2969 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
115112, 114sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
11610mrefg2 30567 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) ) )
117116ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) t  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
) )
118115, 117mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
119118ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
12010isnacs 30564 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
12162, 119, 120sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (NoeACS `  X
) )
12254, 121impbii 188 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   ran crn 5006   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7528  Moorecmre 14854  mrClscmrc 14855  ACScacs 14857  Dirsetcdrs 15431  toInccipo 15655  NoeACScnacs 30562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ocomp 14593  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-preset 15432  df-drs 15433  df-poset 15450  df-ipo 15656  df-nacs 30563
This theorem is referenced by:  nacsfix  30572
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