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Theorem isnacs3 35470
Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnacs3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isnacs3
Dummy variables  g  h  i  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nacsacs 35469 . . . 4  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 15549 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
3 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (NoeACS `  X ) )
41ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
5 elpwi 3988 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
65ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  s  C_  C )
7 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  (toInc `  s
)  e. Dirset )
8 acsdrsel 16400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  C_  C  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C
)
94, 6, 7, 8syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  C )
10 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
1110nacsfg 35465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  U. s  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
123, 9, 11syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)
1310mrefg2 35467 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
142, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1514ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1612, 15mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
17 elfpw 7878 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  <->  ( g  C_ 
U. s  /\  g  e.  Fin ) )
18 fissuni 7881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  C_  U. s  /\  g  e.  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g  C_  U. h
)
1917, 18sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
g  C_  U. h
)
20 elfpw 7878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  <->  ( h  C_  s  /\  h  e. 
Fin ) )
21 ipodrsfi 16396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  C_  s  /\  h  e.  Fin )  ->  E. i  e.  s 
U. h  C_  i
)
22213expb 1206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  ( h  C_  s  /\  h  e.  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
2320, 22sylan2b 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
24 sstr 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  C_  U. h  /\  U. h  C_  i
)  ->  g  C_  i )
2524ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h
)  ->  g  C_  i )
26 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
272ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
28 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  g  C_  i )
295ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  s  C_  C )
30 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  s )
3129, 30sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  C )
3210mrcsscl 15513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  i  /\  i  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3327, 28, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  i )
3526, 34eqsstrd 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  C_  i )
36 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  e.  s )
37 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  s  ->  i  C_ 
U. s )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  C_  U. s )
3935, 38eqssd 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  i )
4039, 36eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  e.  s )
4140ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
4241expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( g  C_  i  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4325, 42syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4443expd 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4544rexlimdva 2917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( E. i  e.  s  U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4623, 45syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4746expdimp 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  ->  (
g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4847rexlimdv 2915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g 
C_  U. h  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4919, 48syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
5049rexlimdv 2915 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
5116, 50mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  s )
5251ex 435 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
5352ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
542, 53jca 534 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
55 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
565adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
5756sseld 3463 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( U. s  e.  s  ->  U. s  e.  C ) )
5857imim2d 54 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
5958ralimdva 2833 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6059imp 430 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
61 isacs3 16407 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6255, 60, 61sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (ACS `  X
) )
6310mrcid 15506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  t )  =  t )
6463adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  t )
6562adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
66 mress 15486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6766adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6865, 10, 67acsficld 16408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
6964, 68eqtr3d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  =  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
7010mrcf 15502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
) : ~P X --> C )
71 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7372adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (mrCls `  C )  Fn  ~P X )
7410mrcss 15509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  h  /\  h  C_  X )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  (
(mrCls `  C ) `  h ) )
75743expb 1206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
7675adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
77 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
78 fpwipodrs 16397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
80 inss1 3682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P t
81 sspwb 4666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t 
C_  X  <->  ~P t  C_ 
~P X )
8266, 81sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ~P t  C_  ~P X )
8380, 82syl5ss 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
84 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
85 imaexg 6740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C )  e.  _V  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
_V )
8873, 76, 79, 83, 87ipodrsima 16398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
8988adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
90 imassrn 5194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  ran  (mrCls `  C )
91 frn 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9270, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9390, 92syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9493adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  C )
9586elpw 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C  <->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9694, 95sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C )
9796adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C
)
98 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
99 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  (toInc `  s
)  =  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) ) )
10099eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  <->  (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset ) )
101 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  U. s  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
102 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
103101, 102eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( U. s  e.  s  <->  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e.  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
104100, 103imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (
(toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  <->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) ) )
105104rspcva 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10697, 98, 105syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10789, 106mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
10869, 107eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
109 fvelimab 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mrCls `  C )  Fn  ~P X  /\  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )  -> 
( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
11073, 83, 109syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
111110adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
112108, 111mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
113 eqcom 2431 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
114113rexbii 2927 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
115112, 114sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
11610mrefg2 35467 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) ) )
117116ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) t  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
) )
118115, 117mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
119118ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
12010isnacs 35464 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
12162, 119, 120sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (NoeACS `  X
) )
12254, 121impbii 190 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   ran crn 4850   "cima 4852    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597   Fincfn 7573  Moorecmre 15475  mrClscmrc 15476  ACScacs 15478  Dirsetcdrs 16159  toInccipo 16384  NoeACScnacs 35462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ocomp 15198  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-preset 16160  df-drs 16161  df-poset 16178  df-ipo 16385  df-nacs 35463
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