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Theorem isnacs3 35546
Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnacs3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isnacs3
Dummy variables  g  h  i  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nacsacs 35545 . . . 4  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 15555 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
3 simpll 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (NoeACS `  X ) )
41ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
5 elpwi 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
65ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  s  C_  C )
7 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  (toInc `  s
)  e. Dirset )
8 acsdrsel 16406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  C_  C  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C
)
94, 6, 7, 8syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  C )
10 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
1110nacsfg 35541 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  U. s  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
123, 9, 11syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)
1310mrefg2 35543 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
142, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1514ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1612, 15mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
17 elfpw 7873 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  <->  ( g  C_ 
U. s  /\  g  e.  Fin ) )
18 fissuni 7876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  C_  U. s  /\  g  e.  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g  C_  U. h
)
1917, 18sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
g  C_  U. h
)
20 elfpw 7873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  <->  ( h  C_  s  /\  h  e. 
Fin ) )
21 ipodrsfi 16402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  C_  s  /\  h  e.  Fin )  ->  E. i  e.  s 
U. h  C_  i
)
22213expb 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  ( h  C_  s  /\  h  e.  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
2320, 22sylan2b 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
24 sstr 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  C_  U. h  /\  U. h  C_  i
)  ->  g  C_  i )
2524ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h
)  ->  g  C_  i )
26 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
272ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
28 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  g  C_  i )
295ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  s  C_  C )
30 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  s )
3129, 30sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  C )
3210mrcsscl 15519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  i  /\  i  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3327, 28, 31, 32syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  i )
3526, 34eqsstrd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  C_  i )
36 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  e.  s )
37 elssuni 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  s  ->  i  C_ 
U. s )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  C_  U. s )
3935, 38eqssd 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  i )
4039, 36eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  e.  s )
4140ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
4241expr 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( g  C_  i  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4325, 42syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4443expd 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4544rexlimdva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( E. i  e.  s  U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4623, 45syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4746expdimp 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  ->  (
g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4847rexlimdv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g 
C_  U. h  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4919, 48syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
5049rexlimdv 2876 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
5116, 50mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  s )
5251ex 436 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
5352ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
542, 53jca 535 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
55 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
565adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
5756sseld 3430 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( U. s  e.  s  ->  U. s  e.  C ) )
5857imim2d 54 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
5958ralimdva 2795 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6059imp 431 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
61 isacs3 16413 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6255, 60, 61sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (ACS `  X
) )
6310mrcid 15512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  t )  =  t )
6463adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  t )
6562adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
66 mress 15492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6766adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6865, 10, 67acsficld 16414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
6964, 68eqtr3d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  =  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
7010mrcf 15508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
) : ~P X --> C )
71 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7372adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (mrCls `  C )  Fn  ~P X )
7410mrcss 15515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  h  /\  h  C_  X )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  (
(mrCls `  C ) `  h ) )
75743expb 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
7675adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
77 vex 3047 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
78 fpwipodrs 16403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
80 inss1 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P t
81 sspwb 4648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t 
C_  X  <->  ~P t  C_ 
~P X )
8266, 81sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ~P t  C_  ~P X )
8380, 82syl5ss 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
84 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
85 imaexg 6727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C )  e.  _V  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
_V )
8873, 76, 79, 83, 87ipodrsima 16404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
8988adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
90 imassrn 5178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  ran  (mrCls `  C )
91 frn 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9270, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9390, 92syl5ss 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  C )
9586elpw 3956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C  <->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9694, 95sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C )
9796adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C
)
98 simplr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
99 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  (toInc `  s
)  =  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) ) )
10099eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  <->  (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset ) )
101 unieq 4205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  U. s  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
102 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
103101, 102eleq12d 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( U. s  e.  s  <->  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e.  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
104100, 103imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (
(toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  <->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) ) )
105104rspcva 3147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10697, 98, 105syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10789, 106mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
10869, 107eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
109 fvelimab 5919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mrCls `  C )  Fn  ~P X  /\  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )  -> 
( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
11073, 83, 109syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
111110adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
112108, 111mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
113 eqcom 2457 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
114113rexbii 2888 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
115112, 114sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
11610mrefg2 35543 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) ) )
117116ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) t  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
) )
118115, 117mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
119118ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
12010isnacs 35540 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
12162, 119, 120sylanbrc 669 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (NoeACS `  X
) )
12254, 121impbii 191 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   ran crn 4834   "cima 4836    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581   Fincfn 7566  Moorecmre 15481  mrClscmrc 15482  ACScacs 15484  Dirsetcdrs 16165  toInccipo 16390  NoeACScnacs 35538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ocomp 15204  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-preset 16166  df-drs 16167  df-poset 16184  df-ipo 16391  df-nacs 35539
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