Theorem isnacs3 26654

Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnacs3	|- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isnacs3

Dummy variables g h i t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nacsacs 26653	. . . 4 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 13836	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
3		simpll 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
4	1	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (ACS ` X ) )
5		elpwi 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
6	5	ad2antlr 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> s C_ C )
7		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
8		acsdrsel 14548	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s C_ C /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
10		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
11	10	nacsfg 26649	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ U. s e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
13	10	mrefg2 26651	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
14	2, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
15	14	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
16	12, 15	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
17		elfpw 7366	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) <-> ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) )
18		fissuni 7369	. . . . . . . . 9 |- ( ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
19	17, 18	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
20		elfpw 7366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( h C_ s /\ h e. Fin ) )
21		ipodrsfi 14544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h C_ s /\ h e. Fin ) -> E. i e. s U. h C_ i )
22	21	3expb 1154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ ( h C_ s /\ h e. Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
23	20, 22	sylan2b 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
24		sstr 3316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g C_ U. h /\ U. h C_ i ) -> g C_ i )
25	24	ancoms 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> g C_ i )
26		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
27	2	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
28		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> g C_ i )
29	5	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> s C_ C )
30		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. s )
31	29, 30	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. C )
32	10	mrcsscl 13800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ i /\ i e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
33	27, 28, 31, 32	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
34	33	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
35	26, 34	eqsstrd 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s C_ i )
36		simplrl 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i e. s )
37		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. s -> i C_ U. s )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i C_ U. s )
39	35, 38	eqssd 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = i )
40	39, 36	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s e. s )
41	40	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
42	41	expr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( g C_ i -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
43	25, 42	syl5 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
44	43	exp3a 426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
45	44	rexlimdva 2790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( E. i e. s U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
46	23, 45	syl5 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
47	46	expdimp 427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( h e. ( ~P s i^i Fin ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
49	19, 48	syl5 30	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
50	49	rexlimdv 2789	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
51	16, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. s )
52	51	ex 424	. . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
53	52	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
54	2, 53	jca 519	. 2 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )
55		simpl 444	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
56	5	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
57	56	sseld 3307	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( U. s e. s -> U. s e. C ) )
58	57	imim2d 50	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
59	58	ralimdva 2744	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
60	59	imp 419	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
61		isacs3 14555	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
62	55, 60, 61	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (ACS ` X ) )
63	10	mrcid 13793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
64	63	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
65	62	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> C e. (ACS ` X ) )
66		mress 13773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
67	66	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
68	65, 10, 67	acsficld 14556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
69	64, 68	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
70	10	mrcf 13789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) : ~P X --> C )
71		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
73	72	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
74	10	mrcss 13796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ h /\ h C_ X ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
75	74	3expb 1154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
76	75	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
77		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
78		fpwipodrs 14545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. _V -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
79	77, 78	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
80		inss1 3521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P t
81		sspwb 4373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ X <-> ~P t C_ ~P X )
82	66, 81	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ~P t C_ ~P X )
83	80, 82	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X )
84		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
85		imaexg 5176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) e. _V -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
86	84, 85	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
88	73, 76, 79, 83, 87	ipodrsima 14546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
89	88	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
90		imassrn 5175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ ran (mrCls ` C )
91		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
92	70, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
93	90, 92	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
94	93	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
95	86	elpw 3765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C <-> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
96	94, 95	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
97	96	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
98		simplr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
99		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
100	99	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset ) )
101		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> U. s = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
102		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
103	101, 102	eleq12d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( U. s e. s <-> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
104	100, 103	imbi12d 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) <-> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) ) )
105	104	rspcva 3010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
106	97, 98, 105	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
107	89, 106	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
108	69, 107	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
109		fvelimab 5741	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mrCls ` C ) Fn ~P X /\ ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
110	73, 83, 109	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
111	110	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
112	108, 111	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
113		eqcom 2406	. . . . . . 7 |- ( t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
114	113	rexbii 2691	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
115	112, 114	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
116	10	mrefg2 26651	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
117	116	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
118	115, 117	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
119	118	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
120	10	isnacs 26648	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (ACS ` X ) /\ A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
121	62, 119, 120	sylanbrc 646	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
122	54, 121	impbii 181	1 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   ran crn 4838   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   Fincfn 7068  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763  ACScacs 13765  Dirsetcdrs 14339  toInccipo 14532  NoeACScnacs 26646

This theorem is referenced by:  nacsfix  26656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ocomp 13505  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-preset 14340  df-drs 14341  df-poset 14358  df-ipo 14533  df-nacs 26647