Theorem isnacs3 35470

Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnacs3	|- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isnacs3

Dummy variables g h i t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nacsacs 35469	. . . 4 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 15549	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
3		simpll 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
4	1	ad2antrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (ACS ` X ) )
5		elpwi 3988	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
6	5	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> s C_ C )
7		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
8		acsdrsel 16400	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s C_ C /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
10		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
11	10	nacsfg 35465	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ U. s e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
13	10	mrefg2 35467	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
15	14	ad2antrr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
16	12, 15	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
17		elfpw 7878	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) <-> ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) )
18		fissuni 7881	. . . . . . . . 9 |- ( ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
19	17, 18	sylbi 198	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
20		elfpw 7878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( h C_ s /\ h e. Fin ) )
21		ipodrsfi 16396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h C_ s /\ h e. Fin ) -> E. i e. s U. h C_ i )
22	21	3expb 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ ( h C_ s /\ h e. Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
23	20, 22	sylan2b 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
24		sstr 3472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g C_ U. h /\ U. h C_ i ) -> g C_ i )
25	24	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> g C_ i )
26		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
27	2	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
28		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> g C_ i )
29	5	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> s C_ C )
30		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. s )
31	29, 30	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. C )
32	10	mrcsscl 15513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ i /\ i e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
33	27, 28, 31, 32	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
34	33	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
35	26, 34	eqsstrd 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s C_ i )
36		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i e. s )
37		elssuni 4245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. s -> i C_ U. s )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i C_ U. s )
39	35, 38	eqssd 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = i )
40	39, 36	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s e. s )
41	40	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
42	41	expr 618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( g C_ i -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
43	25, 42	syl5 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
44	43	expd 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
45	44	rexlimdva 2917	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( E. i e. s U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
46	23, 45	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
47	46	expdimp 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( h e. ( ~P s i^i Fin ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2915	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
49	19, 48	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
50	49	rexlimdv 2915	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
51	16, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. s )
52	51	ex 435	. . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
53	52	ralrimiva 2839	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
54	2, 53	jca 534	. 2 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )
55		simpl 458	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
56	5	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
57	56	sseld 3463	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( U. s e. s -> U. s e. C ) )
58	57	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
59	58	ralimdva 2833	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
60	59	imp 430	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
61		isacs3 16407	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
62	55, 60, 61	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (ACS ` X ) )
63	10	mrcid 15506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
64	63	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
65	62	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> C e. (ACS ` X ) )
66		mress 15486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
67	66	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
68	65, 10, 67	acsficld 16408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
69	64, 68	eqtr3d 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
70	10	mrcf 15502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) : ~P X --> C )
71		ffn 5742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
73	72	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
74	10	mrcss 15509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ h /\ h C_ X ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
75	74	3expb 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
76	75	adantlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
77		vex 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
78		fpwipodrs 16397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. _V -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
79	77, 78	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
80		inss1 3682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P t
81		sspwb 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ X <-> ~P t C_ ~P X )
82	66, 81	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ~P t C_ ~P X )
83	80, 82	syl5ss 3475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X )
84		fvex 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
85		imaexg 6740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) e. _V -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
88	73, 76, 79, 83, 87	ipodrsima 16398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
89	88	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
90		imassrn 5194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ ran (mrCls ` C )
91		frn 5748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
92	70, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
93	90, 92	syl5ss 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
94	93	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
95	86	elpw 3985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C <-> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
96	94, 95	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
97	96	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
98		simplr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
99		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
100	99	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset ) )
101		unieq 4224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> U. s = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
102		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
103	101, 102	eleq12d 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( U. s e. s <-> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
104	100, 103	imbi12d 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) <-> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) ) )
105	104	rspcva 3180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
106	97, 98, 105	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
107	89, 106	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
108	69, 107	eqeltrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
109		fvelimab 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mrCls ` C ) Fn ~P X /\ ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
110	73, 83, 109	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
111	110	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
112	108, 111	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
113		eqcom 2431	. . . . . . 7 |- ( t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
114	113	rexbii 2927	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
115	112, 114	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
116	10	mrefg2 35467	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
117	116	ad2antrr 730	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
118	115, 117	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
119	118	ralrimiva 2839	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
120	10	isnacs 35464	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (ACS ` X ) /\ A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
121	62, 119, 120	sylanbrc 668	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
122	54, 121	impbii 190	1 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   ran crn 4850   "cima 4852   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597   Fincfn 7573  Moorecmre 15475  mrClscmrc 15476  ACScacs 15478  Dirsetcdrs 16159  toInccipo 16384  NoeACScnacs 35462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ocomp 15198  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-preset 16160  df-drs 16161  df-poset 16178  df-ipo 16385  df-nacs 35463

This theorem is referenced by:  nacsfix  35472