Theorem isnacs3 30570

Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnacs3	|- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isnacs3

Dummy variables g h i t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nacsacs 30569	. . . 4 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 14928	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
3		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
4	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (ACS ` X ) )
5		elpwi 4025	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> s C_ C )
7		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
8		acsdrsel 15671	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s C_ C /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
10		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
11	10	nacsfg 30565	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ U. s e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
13	10	mrefg2 30567	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
14	2, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
16	12, 15	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
17		elfpw 7834	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) <-> ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) )
18		fissuni 7837	. . . . . . . . 9 |- ( ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
19	17, 18	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
20		elfpw 7834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( h C_ s /\ h e. Fin ) )
21		ipodrsfi 15667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h C_ s /\ h e. Fin ) -> E. i e. s U. h C_ i )
22	21	3expb 1197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ ( h C_ s /\ h e. Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
23	20, 22	sylan2b 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
24		sstr 3517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g C_ U. h /\ U. h C_ i ) -> g C_ i )
25	24	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> g C_ i )
26		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
27	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
28		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> g C_ i )
29	5	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> s C_ C )
30		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. s )
31	29, 30	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. C )
32	10	mrcsscl 14892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ i /\ i e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
33	27, 28, 31, 32	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
35	26, 34	eqsstrd 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s C_ i )
36		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i e. s )
37		elssuni 4281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. s -> i C_ U. s )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i C_ U. s )
39	35, 38	eqssd 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = i )
40	39, 36	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s e. s )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
42	41	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( g C_ i -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
43	25, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
44	43	expd 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
45	44	rexlimdva 2959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( E. i e. s U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
46	23, 45	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
47	46	expdimp 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( h e. ( ~P s i^i Fin ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
49	19, 48	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
50	49	rexlimdv 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
51	16, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. s )
52	51	ex 434	. . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
53	52	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
54	2, 53	jca 532	. 2 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )
55		simpl 457	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
56	5	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
57	56	sseld 3508	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( U. s e. s -> U. s e. C ) )
58	57	imim2d 52	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
59	58	ralimdva 2875	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
60	59	imp 429	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
61		isacs3 15678	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
62	55, 60, 61	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (ACS ` X ) )
63	10	mrcid 14885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
64	63	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
65	62	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> C e. (ACS ` X ) )
66		mress 14865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
67	66	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
68	65, 10, 67	acsficld 15679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
69	64, 68	eqtr3d 2510	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
70	10	mrcf 14881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) : ~P X --> C )
71		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
74	10	mrcss 14888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ h /\ h C_ X ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
75	74	3expb 1197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
76	75	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
77		vex 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
78		fpwipodrs 15668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. _V -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
79	77, 78	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
80		inss1 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P t
81		sspwb 4702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ X <-> ~P t C_ ~P X )
82	66, 81	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ~P t C_ ~P X )
83	80, 82	syl5ss 3520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X )
84		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
85		imaexg 6732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) e. _V -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
88	73, 76, 79, 83, 87	ipodrsima 15669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
89	88	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
90		imassrn 5354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ ran (mrCls ` C )
91		frn 5743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
92	70, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
93	90, 92	syl5ss 3520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
95	86	elpw 4022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C <-> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
96	94, 95	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
97	96	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
98		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
99		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
100	99	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset ) )
101		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> U. s = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
103	101, 102	eleq12d 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( U. s e. s <-> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
104	100, 103	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) <-> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) ) )
105	104	rspcva 3217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
106	97, 98, 105	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
107	89, 106	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
108	69, 107	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
109		fvelimab 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mrCls ` C ) Fn ~P X /\ ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
110	73, 83, 109	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
111	110	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
112	108, 111	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
113		eqcom 2476	. . . . . . 7 |- ( t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
114	113	rexbii 2969	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
115	112, 114	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
116	10	mrefg2 30567	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
117	116	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
118	115, 117	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
119	118	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
120	10	isnacs 30564	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (ACS ` X ) /\ A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
121	62, 119, 120	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
122	54, 121	impbii 188	1 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   i^i cin 3480   C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   ran crn 5006   "cima 5008   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7528  Moorecmre 14854  mrClscmrc 14855  ACScacs 14857  Dirsetcdrs 15431  toInccipo 15655  NoeACScnacs 30562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ocomp 14593  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-preset 15432  df-drs 15433  df-poset 15450  df-ipo 15656  df-nacs 30563

This theorem is referenced by:  nacsfix  30572