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Theorem isnacs3 26654
Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnacs3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isnacs3
Dummy variables  g  h  i  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nacsacs 26653 . . . 4  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 13836 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
3 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (NoeACS `  X ) )
41ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
5 elpwi 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
65ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  s  C_  C )
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  (toInc `  s
)  e. Dirset )
8 acsdrsel 14548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  C_  C  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C
)
94, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  C )
10 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
1110nacsfg 26649 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  U. s  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
123, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)
1310mrefg2 26651 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
142, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
1612, 15mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
17 elfpw 7366 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  <->  ( g  C_ 
U. s  /\  g  e.  Fin ) )
18 fissuni 7369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  C_  U. s  /\  g  e.  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g  C_  U. h
)
1917, 18sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
g  C_  U. h
)
20 elfpw 7366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  <->  ( h  C_  s  /\  h  e. 
Fin ) )
21 ipodrsfi 14544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  C_  s  /\  h  e.  Fin )  ->  E. i  e.  s 
U. h  C_  i
)
22213expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  ( h  C_  s  /\  h  e.  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
2320, 22sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. i  e.  s  U. h  C_  i )
24 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  C_  U. h  /\  U. h  C_  i
)  ->  g  C_  i )
2524ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h
)  ->  g  C_  i )
26 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
272ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
28 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  g  C_  i )
295ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  s  C_  C )
30 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  s )
3129, 30sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  i  e.  C )
3210mrcsscl 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  i  /\  i  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3327, 28, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  i
)
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  i )
3526, 34eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  C_  i )
36 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  e.  s )
37 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  s  ->  i  C_ 
U. s )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  i  C_  U. s )
3935, 38eqssd 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  =  i )
4039, 36eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
i  e.  s  /\  g  C_  i ) )  /\  U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
)  ->  U. s  e.  s )
4140ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  ( i  e.  s  /\  g  C_  i
) )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
4241expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( g  C_  i  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4325, 42syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( ( U. h  C_  i  /\  g  C_  U. h )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4443exp3a 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  i  e.  s )  ->  ( U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4544rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( E. i  e.  s  U. h  C_  i  ->  ( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4623, 45syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4746expdimp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( h  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  ->  (
g  C_  U. h  ->  ( U. s  =  ( (mrCls `  C
) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) ) )
4847rexlimdv 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. h  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) g 
C_  U. h  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
4919, 48syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  ( U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) ) )
5049rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) U. s  =  (
(mrCls `  C ) `  g )  ->  U. s  e.  s ) )
5116, 50mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset
)  ->  U. s  e.  s )
5251ex 424 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
5352ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
542, 53jca 519 . 2  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
55 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
565adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
5756sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( U. s  e.  s  ->  U. s  e.  C ) )
5857imim2d 50 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
5958ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6059imp 419 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
61 isacs3 14555 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6255, 60, 61sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (ACS `  X
) )
6310mrcid 13793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  t )  =  t )
6463adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  t )
6562adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  C  e.  (ACS `  X ) )
66 mress 13773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6766adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  C_  X )
6865, 10, 67acsficld 14556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) `  t )  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
6964, 68eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  =  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
7010mrcf 13789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
) : ~P X --> C )
71 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  (mrCls `  C
)  Fn  ~P X
)
7372adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (mrCls `  C )  Fn  ~P X )
7410mrcss 13796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  g  C_  h  /\  h  C_  X )  ->  (
(mrCls `  C ) `  g )  C_  (
(mrCls `  C ) `  h ) )
75743expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
7675adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  /\  (
g  C_  h  /\  h  C_  X ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  h
) )
77 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
78 fpwipodrs 14545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
7977, 78mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( ~P t  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
80 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P t
81 sspwb 4373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t 
C_  X  <->  ~P t  C_ 
~P X )
8266, 81sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ~P t  C_  ~P X )
8380, 82syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
84 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
85 imaexg 5176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mrCls `  C )  e.  _V  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V )
8684, 85ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
_V )
8873, 76, 79, 83, 87ipodrsima 14546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
8988adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset )
90 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  ran  (mrCls `  C )
91 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (mrCls `  C ) : ~P X
--> C  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9270, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ran  (mrCls `  C )  C_  C
)
9390, 92syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  C )
9586elpw 3765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C  <->  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  C )
9694, 95sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e. 
~P C )
9796adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C
)
98 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )
99 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  (toInc `  s
)  =  (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) ) )
10099eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (toInc `  s )  e. Dirset  <->  (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset ) )
101 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  U. s  =  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
102 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )
103101, 102eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( U. s  e.  s  <->  U. (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  e.  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
104100, 103imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  ->  ( (
(toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s )  <->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) ) )
105104rspcva 3010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ~P C  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  ( (toInc `  ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C
) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10697, 98, 105syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( (toInc `  (
(mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) ) )  e. Dirset  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) ) )
10789, 106mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  U. ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
10869, 107eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
109 fvelimab 5741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mrCls `  C )  Fn  ~P X  /\  ( ~P t  i^i  Fin )  C_ 
~P X )  -> 
( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
11073, 83, 109syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  t  e.  C )  ->  (
t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin )
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
111110adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( t  e.  ( (mrCls `  C ) " ( ~P t  i^i  Fin ) )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t ) )
112108, 111mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
113 eqcom 2406 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
114113rexbii 2691 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  g
)  =  t )
115112, 114sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
11610mrefg2 26651 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
)  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) ) )
117116ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  ( E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g )  <->  E. g  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) t  =  ( (mrCls `  C
) `  g )
) )
118115, 117mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  /\  t  e.  C )  ->  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) t  =  ( (mrCls `  C ) `  g ) )
119118ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) )
12010isnacs 26648 . . 3  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (ACS `  X )  /\  A. t  e.  C  E. g  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
t  =  ( (mrCls `  C ) `  g
) ) )
12162, 119, 120sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) )  ->  C  e.  (NoeACS `  X
) )
12254, 121impbii 181 1  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  s ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   Fincfn 7068  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763  ACScacs 13765  Dirsetcdrs 14339  toInccipo 14532  NoeACScnacs 26646
This theorem is referenced by:  nacsfix  26656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ocomp 13505  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-preset 14340  df-drs 14341  df-poset 14358  df-ipo 14533  df-nacs 26647
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