Theorem isnacs3 35546

Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnacs3	|- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isnacs3

Dummy variables g h i t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nacsacs 35545	. . . 4 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 15555	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
3		simpll 759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
4	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (ACS ` X ) )
5		elpwi 3959	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
6	5	ad2antlr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> s C_ C )
7		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
8		acsdrsel 16406	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s C_ C /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
10		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
11	10	nacsfg 35541	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ U. s e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
13	10	mrefg2 35543	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
15	14	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
16	12, 15	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
17		elfpw 7873	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) <-> ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) )
18		fissuni 7876	. . . . . . . . 9 |- ( ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
19	17, 18	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
20		elfpw 7873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( h C_ s /\ h e. Fin ) )
21		ipodrsfi 16402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h C_ s /\ h e. Fin ) -> E. i e. s U. h C_ i )
22	21	3expb 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ ( h C_ s /\ h e. Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
23	20, 22	sylan2b 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
24		sstr 3439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g C_ U. h /\ U. h C_ i ) -> g C_ i )
25	24	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> g C_ i )
26		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
27	2	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
28		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> g C_ i )
29	5	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> s C_ C )
30		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. s )
31	29, 30	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. C )
32	10	mrcsscl 15519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ i /\ i e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
33	27, 28, 31, 32	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
35	26, 34	eqsstrd 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s C_ i )
36		simplrl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i e. s )
37		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. s -> i C_ U. s )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i C_ U. s )
39	35, 38	eqssd 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = i )
40	39, 36	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s e. s )
41	40	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
42	41	expr 619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( g C_ i -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
43	25, 42	syl5 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
44	43	expd 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
45	44	rexlimdva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( E. i e. s U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
46	23, 45	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
47	46	expdimp 439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( h e. ( ~P s i^i Fin ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
49	19, 48	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
50	49	rexlimdv 2876	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
51	16, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. s )
52	51	ex 436	. . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
53	52	ralrimiva 2801	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
54	2, 53	jca 535	. 2 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )
55		simpl 459	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
56	5	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
57	56	sseld 3430	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( U. s e. s -> U. s e. C ) )
58	57	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
59	58	ralimdva 2795	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
60	59	imp 431	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
61		isacs3 16413	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
62	55, 60, 61	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (ACS ` X ) )
63	10	mrcid 15512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
64	63	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
65	62	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> C e. (ACS ` X ) )
66		mress 15492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
67	66	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
68	65, 10, 67	acsficld 16414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
69	64, 68	eqtr3d 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
70	10	mrcf 15508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) : ~P X --> C )
71		ffn 5726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
74	10	mrcss 15515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ h /\ h C_ X ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
75	74	3expb 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
76	75	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
77		vex 3047	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
78		fpwipodrs 16403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. _V -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
79	77, 78	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
80		inss1 3651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P t
81		sspwb 4648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ X <-> ~P t C_ ~P X )
82	66, 81	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ~P t C_ ~P X )
83	80, 82	syl5ss 3442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X )
84		fvex 5873	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
85		imaexg 6727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) e. _V -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
88	73, 76, 79, 83, 87	ipodrsima 16404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
89	88	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
90		imassrn 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ ran (mrCls ` C )
91		frn 5733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
92	70, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
93	90, 92	syl5ss 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
95	86	elpw 3956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C <-> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
96	94, 95	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
97	96	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
98		simplr 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
99		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
100	99	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset ) )
101		unieq 4205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> U. s = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
103	101, 102	eleq12d 2522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( U. s e. s <-> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
104	100, 103	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) <-> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) ) )
105	104	rspcva 3147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
106	97, 98, 105	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
107	89, 106	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
108	69, 107	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
109		fvelimab 5919	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mrCls ` C ) Fn ~P X /\ ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
110	73, 83, 109	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
111	110	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
112	108, 111	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
113		eqcom 2457	. . . . . . 7 |- ( t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
114	113	rexbii 2888	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
115	112, 114	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
116	10	mrefg2 35543	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
117	116	ad2antrr 731	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
118	115, 117	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
119	118	ralrimiva 2801	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
120	10	isnacs 35540	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (ACS ` X ) /\ A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
121	62, 119, 120	sylanbrc 669	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
122	54, 121	impbii 191	1 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   ran crn 4834   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581   Fincfn 7566  Moorecmre 15481  mrClscmrc 15482  ACScacs 15484  Dirsetcdrs 16165  toInccipo 16390  NoeACScnacs 35538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ocomp 15204  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-preset 16166  df-drs 16167  df-poset 16184  df-ipo 16391  df-nacs 35539

This theorem is referenced by:  nacsfix  35548