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Theorem ismtyval 31880
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, M, x, y    f, N, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 31879 . . 3  |-  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } ) )
3 dmeq 5046 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  dom  m  =  dom  M )
4 xmetf 21281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 fdm 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
73, 6sylan9eqr 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  m  =  M )  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
87ad2ant2r 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
98dmeqd 5048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 5065 . . . . . . 7  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6eq 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  X )
12 f1oeq2 5814 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  m  =  X  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
14 dmeq 5046 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  dom  n  =  dom  N )
15 xmetf 21281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
16 fdm 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  n  =  N )  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
1918ad2ant2l 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
2019dmeqd 5048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  dom  ( Y  X.  Y ) )
21 dmxpid 5065 . . . . . . 7  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
2220, 21syl6eq 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  Y )
23 f1oeq3 5815 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  n  =  Y  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 256 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 6302 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
27 oveq 6302 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( f `  x
) n ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )
2826, 27eqeqan12d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <-> 
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
2928adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
x m y )  =  ( ( f `
 x ) n ( f `  y
) )  <->  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 3037 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. y  e.  dom  dom  m
( x m y )  =  ( ( f `  x ) n ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 3037 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 715 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) ) )
3332abbidv 2556 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  { f  |  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) }  =  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } )
34 fvssunirn 5895 . . 3  |-  ( *Met `  X ) 
C_  U. ran  *Met
35 simpl 458 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3634, 35sseldi 3459 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  U. ran  *Met )
37 fvssunirn 5895 . . 3  |-  ( *Met `  Y ) 
C_  U. ran  *Met
38 simpr 462 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
3937, 38sseldi 3459 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  U. ran  *Met )
40 f1of 5822 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
4140adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )  -> 
f : X --> Y )
42 elfvdm 5898 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  *Met )
43 elfvdm 5898 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
44 elmapg 7484 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  *Met  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4641, 45syl5ibr 224 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  ->  f  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
4746abssdv 3532 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
48 ovex 6324 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4948ssex 4560 . . 3  |-  ( { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
5047, 49syl 17 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6429 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   U.cuni 4213    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   -->wf 5588   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7471   RR*cxr 9663   *Metcxmt 18896    Ismty cismty 31878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7473  df-xr 9668  df-xmet 18904  df-ismty 31879
This theorem is referenced by:  isismty  31881
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