Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyval Structured version   Unicode version

Theorem ismtyval 30126
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, M, x, y    f, N, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 30125 . . 3  |-  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } ) )
3 dmeq 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  dom  m  =  dom  M )
4 xmetf 20659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 fdm 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
73, 6sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  m  =  M )  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
87ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
98dmeqd 5205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 5222 . . . . . . 7  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  X )
12 f1oeq2 5808 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  m  =  X  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
14 dmeq 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  dom  n  =  dom  N )
15 xmetf 20659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
16 fdm 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  n  =  N )  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
2019dmeqd 5205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  dom  ( Y  X.  Y ) )
21 dmxpid 5222 . . . . . . 7  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
2220, 21syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  Y )
23 f1oeq3 5809 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  n  =  Y  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
27 oveq 6291 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( f `  x
) n ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )
2826, 27eqeqan12d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <-> 
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
x m y )  =  ( ( f `
 x ) n ( f `  y
) )  <->  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. y  e.  dom  dom  m
( x m y )  =  ( ( f `  x ) n ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 3072 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) ) )
3332abbidv 2603 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  { f  |  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) }  =  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } )
34 fvssunirn 5889 . . 3  |-  ( *Met `  X ) 
C_  U. ran  *Met
35 simpl 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3634, 35sseldi 3502 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  U. ran  *Met )
37 fvssunirn 5889 . . 3  |-  ( *Met `  Y ) 
C_  U. ran  *Met
38 simpr 461 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
3937, 38sseldi 3502 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  U. ran  *Met )
40 f1of 5816 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )  -> 
f : X --> Y )
42 elfvdm 5892 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  *Met )
43 elfvdm 5892 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
44 elmapg 7434 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  *Met  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4641, 45syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  ->  f  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
4746abssdv 3574 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
48 ovex 6310 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4948ssex 4591 . . 3  |-  ( { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
5047, 49syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6415 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287    ^m cmap 7421   RR*cxr 9628   *Metcxmt 18214    Ismty cismty 30124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-xr 9633  df-xmet 18223  df-ismty 30125
This theorem is referenced by:  isismty  30127
  Copyright terms: Public domain W3C validator