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Theorem ismtyval 28867
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, M, x, y    f, N, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 28866 . . 3  |-  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  *Met ,  n  e. 
U. ran  *Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } ) )
3 dmeq 5151 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  dom  m  =  dom  M )
4 xmetf 20039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 fdm 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
73, 6sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  m  =  M )  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
87ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
98dmeqd 5153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 5170 . . . . . . 7  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  X )
12 f1oeq2 5744 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  m  =  X  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
14 dmeq 5151 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  dom  n  =  dom  N )
15 xmetf 20039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
16 fdm 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  n  =  N )  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
2019dmeqd 5153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  dom  ( Y  X.  Y ) )
21 dmxpid 5170 . . . . . . 7  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
2220, 21syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  Y )
23 f1oeq3 5745 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  n  =  Y  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 6209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
27 oveq 6209 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( f `  x
) n ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )
2826, 27eqeqan12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <-> 
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
x m y )  =  ( ( f `
 x ) n ( f `  y
) )  <->  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 3037 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. y  e.  dom  dom  m
( x m y )  =  ( ( f `  x ) n ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 3037 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) ) )
3332abbidv 2590 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  { f  |  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) }  =  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } )
34 fvssunirn 5825 . . 3  |-  ( *Met `  X ) 
C_  U. ran  *Met
35 simpl 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3634, 35sseldi 3465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  M  e.  U. ran  *Met )
37 fvssunirn 5825 . . 3  |-  ( *Met `  Y ) 
C_  U. ran  *Met
38 simpr 461 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
3937, 38sseldi 3465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  N  e.  U. ran  *Met )
40 f1of 5752 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )  -> 
f : X --> Y )
42 elfvdm 5828 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  *Met )
43 elfvdm 5828 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
44 elmapg 7340 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  *Met  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4641, 45syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  ->  f  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
4746abssdv 3537 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
48 ovex 6228 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4948ssex 4547 . . 3  |-  ( { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
5047, 49syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6331 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   U.cuni 4202    X. cxp 4949   dom cdm 4951   ran crn 4952   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    ^m cmap 7327   RR*cxr 9531   *Metcxmt 17929    Ismty cismty 28865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-xr 9536  df-xmet 17938  df-ismty 28866
This theorem is referenced by:  isismty  28868
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