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Theorem ismtyres 26407
Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition  A  C_  X is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyres.2  |-  B  =  ( F " A
)
ismtyres.3  |-  S  =  ( M  |`  ( A  X.  A ) )
ismtyres.4  |-  T  =  ( N  |`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ismtyres  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T ) )

Proof of Theorem ismtyres
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 26400 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
21simprbda 607 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
32adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
4 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
6 simprr 734 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  A  C_  X )
7 f1ores 5648 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  A  C_  X )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
85, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
) )
91biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
109adantrr 698 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
11 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  X )
)
12 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  (
v  e.  A  -> 
v  e.  X ) )
1311, 12anim12d 547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  ->  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) ) )
1413imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)
15 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
x M y )  =  ( u M y ) )
16 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
1716oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  y
) ) )
1815, 17eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( u M y )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  y ) ) ) )
19 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
u M y )  =  ( u M v ) )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  u
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  v
) ) )
2219, 21eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
( u M y )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  y ) )  <->  ( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) ) )
2318, 22rspc2v 3018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( u M v )  =  ( ( F `  u
) N ( F `
 v ) ) ) )
2414, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) ) )
2524imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2625an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2726adantlrl 701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2827adantlll 699 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
u M v )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  v
) ) )
29 ismtyres.3 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( M  |`  ( A  X.  A ) )
3029oveqi 6053 . . . . . . . 8  |-  ( u S v )  =  ( u ( M  |`  ( A  X.  A
) ) v )
31 ovres 6172 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( u ( M  |`  ( A  X.  A
) ) v )  =  ( u M v ) )
3230, 31syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( u S v )  =  ( u M v ) )
3332adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
u S v )  =  ( u M v ) )
34 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 u )  =  ( F `  u
) )
3534ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) `  u
)  =  ( F `
 u ) )
36 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 v )  =  ( F `  v
) )
3736ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) `  v
)  =  ( F `
 v ) )
3835, 37oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) T ( F `  v ) ) )
39 ismtyres.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( N  |`  ( B  X.  B ) )
4039oveqi 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) T ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u ) ( N  |`  ( B  X.  B
) ) ( F `
 v ) )
41 f1ofun 5635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  F )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  Fun  F )
43 f1odm 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4443sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A  C_ 
dom  F  <->  A  C_  X ) )
4544biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A  C_ 
dom  F )
46 funfvima2 5933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( u  e.  A  ->  ( F `  u
)  e.  ( F
" A ) ) )
4742, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
u  e.  A  -> 
( F `  u
)  e.  ( F
" A ) ) )
4847imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  u  e.  A
)  ->  ( F `  u )  e.  ( F " A ) )
49 ismtyres.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( F " A
)
5048, 49syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  u  e.  A
)  ->  ( F `  u )  e.  B
)
5150adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( F `  u
)  e.  B )
52 funfvima2 5933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( v  e.  A  ->  ( F `  v
)  e.  ( F
" A ) ) )
5342, 45, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
v  e.  A  -> 
( F `  v
)  e.  ( F
" A ) ) )
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  v  e.  A
)  ->  ( F `  v )  e.  ( F " A ) )
5554, 49syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  v  e.  A
)  ->  ( F `  v )  e.  B
)
5655adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( F `  v
)  e.  B )
5751, 56ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F `  u ) ( N  |`  ( B  X.  B
) ) ( F `
 v ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  v
) ) )
5840, 57syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F `  u ) T ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
5938, 58eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6059adantlrr 702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6160adantlll 699 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6228, 33, 613eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u ) T ( ( F  |`  A ) `
 v ) ) )
6362ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
6463adantlrl 701 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
6510, 64mpdan 650 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
66 xmetres2 18344 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( * Met `  A
) )
6729, 66syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A  C_  X
)  ->  S  e.  ( * Met `  A
) )
6867ad2ant2rl 730 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  S  e.  ( * Met `  A ) )
69 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
70 imassrn 5175 . . . . . . . 8  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
7149, 70eqsstri 3338 . . . . . . 7  |-  B  C_  ran  F
72 f1ofo 5640 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
73 forn 5615 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
743, 72, 733syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  ran  F  =  Y )
7571, 74syl5sseq 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  B  C_  Y )
76 xmetres2 18344 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  B  C_  Y
)  ->  ( N  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( * Met `  B
) )
7769, 75, 76syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( N  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( * Met `  B ) )
7839, 77syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  T  e.  ( * Met `  B ) )
7949fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( * Met `  B )  =  ( * Met `  ( F " A
) )
8078, 79syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  T  e.  ( * Met `  ( F " A ) ) )
81 isismty 26400 . . 3  |-  ( ( S  e.  ( * Met `  A )  /\  T  e.  ( * Met `  ( F " A ) ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. u  e.  A  A. v  e.  A  (
u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u ) T ( ( F  |`  A ) `
 v ) ) ) ) )
8268, 80, 81syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T )  <->  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  /\  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) ) ) ) )
838, 65, 82mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   * Metcxmt 16641    Ismty cismty 26397
This theorem is referenced by:  reheibor  26438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-xr 9080  df-xmet 16650  df-ismty 26398
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