Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyres Structured version   Unicode version

Theorem ismtyres 28548
Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition  A  C_  X is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyres.2  |-  B  =  ( F " A
)
ismtyres.3  |-  S  =  ( M  |`  ( A  X.  A ) )
ismtyres.4  |-  T  =  ( N  |`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ismtyres  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T ) )

Proof of Theorem ismtyres
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 28541 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
21simprbda 618 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
32adantrr 709 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
4 f1of1 5628 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
6 simprr 749 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  A  C_  X )
7 f1ores 5643 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  A  C_  X )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
85, 6, 7syl2anc 654 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
) )
91biimpa 481 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
109adantrr 709 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
11 ssel 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  X )
)
12 ssel 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  (
v  e.  A  -> 
v  e.  X ) )
1311, 12anim12d 558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  ->  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) ) )
1413imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)
15 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
x M y )  =  ( u M y ) )
16 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
1716oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  y
) ) )
1815, 17eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( u M y )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  y ) ) ) )
19 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
u M y )  =  ( u M v ) )
20 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
2120oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  u
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  v
) ) )
2219, 21eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
( u M y )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  y ) )  <->  ( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) ) )
2318, 22rspc2v 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( u M v )  =  ( ( F `  u
) N ( F `
 v ) ) ) )
2414, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2625an32s 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2726adantlrl 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
2827adantlll 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u M v )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
29 ismtyres.3 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( M  |`  ( A  X.  A ) )
3029oveqi 6093 . . . . . . . 8  |-  ( u S v )  =  ( u ( M  |`  ( A  X.  A
) ) v )
31 ovres 6219 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( u ( M  |`  ( A  X.  A
) ) v )  =  ( u M v ) )
3230, 31syl5eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( u S v )  =  ( u M v ) )
3332adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u S v )  =  ( u M v ) )
34 fvres 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 u )  =  ( F `  u
) )
3534ad2antrl 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) `  u
)  =  ( F `
 u ) )
36 fvres 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 v )  =  ( F `  v
) )
3736ad2antll 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) `  v
)  =  ( F `
 v ) )
3835, 37oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) T ( F `  v ) ) )
39 ismtyres.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( N  |`  ( B  X.  B ) )
4039oveqi 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) T ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u ) ( N  |`  ( B  X.  B
) ) ( F `
 v ) )
41 f1ofun 5631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  F )
4241adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  Fun  F )
43 f1odm 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
4443sseq2d 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A  C_ 
dom  F  <->  A  C_  X ) )
4544biimparc 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A  C_ 
dom  F )
46 funfvima2 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( u  e.  A  ->  ( F `  u
)  e.  ( F
" A ) ) )
4742, 45, 46syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
u  e.  A  -> 
( F `  u
)  e.  ( F
" A ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  u  e.  A
)  ->  ( F `  u )  e.  ( F " A ) )
49 ismtyres.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( F " A
)
5048, 49syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  u  e.  A
)  ->  ( F `  u )  e.  B
)
5150adantrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( F `  u
)  e.  B )
52 funfvima2 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( v  e.  A  ->  ( F `  v
)  e.  ( F
" A ) ) )
5342, 45, 52syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
v  e.  A  -> 
( F `  v
)  e.  ( F
" A ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  v  e.  A
)  ->  ( F `  v )  e.  ( F " A ) )
5554, 49syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  v  e.  A
)  ->  ( F `  v )  e.  B
)
5655adantrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( F `  v
)  e.  B )
5751, 56ovresd 6220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F `  u ) ( N  |`  ( B  X.  B
) ) ( F `
 v ) )  =  ( ( F `
 u ) N ( F `  v
) ) )
5840, 57syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( F `  u ) T ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
5938, 58eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6059adantlrr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6160adantlll 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) )  =  ( ( F `  u ) N ( F `  v ) ) )
6228, 33, 613eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
6362ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  A  C_  X )  /\  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
6463adantlrl 712 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  /\  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) ) ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) ) )
6510, 64mpdan 661 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `
 u ) T ( ( F  |`  A ) `  v
) ) )
66 xmetres2 19777 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( *Met `  A
) )
6729, 66syl5eqel 2517 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A  C_  X
)  ->  S  e.  ( *Met `  A
) )
6867ad2ant2rl 741 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  S  e.  ( *Met `  A ) )
69 simplr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
70 imassrn 5168 . . . . . . . 8  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
7149, 70eqsstri 3374 . . . . . . 7  |-  B  C_  ran  F
72 f1ofo 5636 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
73 forn 5611 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
743, 72, 733syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  ran  F  =  Y )
7571, 74syl5sseq 3392 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  B  C_  Y )
76 xmetres2 19777 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  B  C_  Y
)  ->  ( N  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( *Met `  B
) )
7769, 75, 76syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( N  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( *Met `  B ) )
7839, 77syl5eqel 2517 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  T  e.  ( *Met `  B ) )
7949fveq2i 5682 . . . 4  |-  ( *Met `  B )  =  ( *Met `  ( F " A
) )
8078, 79syl6eleq 2523 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  ->  T  e.  ( *Met `  ( F " A ) ) )
81 isismty 28541 . . 3  |-  ( ( S  e.  ( *Met `  A )  /\  T  e.  ( *Met `  ( F " A ) ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. u  e.  A  A. v  e.  A  (
u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u ) T ( ( F  |`  A ) `
 v ) ) ) ) )
8268, 80, 81syl2anc 654 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T )  <->  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  /\  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u S v )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  u
) T ( ( F  |`  A ) `  v ) ) ) ) )
838, 65, 82mpbir2and 906 1  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  /\  A  C_  X ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( S  Ismty  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    C_ wss 3316    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   *Metcxmt 17644    Ismty cismty 28538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-xr 9409  df-xmet 17653  df-ismty 28539
This theorem is referenced by:  reheibor  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator