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Theorem ismtyima 32046
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )

Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5194 . . . . 5  |-  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  C_  ran  F
2 isismty 32044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
32biimp3a 1364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
43adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
54simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
6 f1of 5827 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X --> Y )
8 frn 5748 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  ran  F  C_  Y )
101, 9syl5ss 3475 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) 
C_  Y )
1110sseld 3463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  ->  x  e.  Y
) )
12 simpl2 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
13 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 6031 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
157, 13, 14syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  R  e.  RR* )
17 blssm 21417 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1918sseld 3463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  N
) R )  ->  x  e.  Y )
)
20 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
22 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  RR* )
23 simplrl 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  P  e.  X )
24 f1ocnv 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
25 f1of 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
265, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  `' F : Y --> X )
27 ffvelrn 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
2826, 27sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
29 elbl2 21389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  M ) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
3021, 22, 23, 28, 29syl22anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
314simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )
32 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
x M y )  =  ( P M y ) )
33 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3433oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  y
) ) )
3532, 34eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) ) ) )
36 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( P M y )  =  ( P M ( `' F `  x ) ) )
37 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
3837oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( F `  P
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
3936, 38eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4035, 39rspc2v 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4140impancom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4213, 31, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4342imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4428, 43syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4544breq1d 4430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R  <->  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
4630, 45bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
47 f1of1 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
485, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
4948adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-> Y
)
50 blssm 21417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5120, 13, 16, 50syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5251adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
53 f1elima 6175 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )  -> 
( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5449, 28, 52, 53syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5512adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
5615adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
57 f1ocnvfv2 6187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
585, 57sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
59 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
6058, 59eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  Y )
61 elbl2 21389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  Y ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6255, 22, 56, 60, 61syl22anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6346, 54, 623bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6458eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) ) )
6558eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6663, 64, 653bitr3d 286 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6766ex 435 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  Y  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) ) )
6811, 19, 67pm5.21ndd 355 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6968eqrdv 2419 1  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4420   `'ccnv 4848   ran crn 4850   "cima 4852   -->wf 5593   -1-1->wf1 5594   -1-1-onto->wf1o 5596   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RR*cxr 9674    < clt 9675   *Metcxmt 18940   ballcbl 18942    Ismty cismty 32041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-map 7478  df-xr 9679  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-bl 18950  df-ismty 32042
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  32047  ismtybndlem  32049
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