Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyima Structured version   Unicode version

Theorem ismtyima 30267
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )

Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5334 . . . . 5  |-  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  C_  ran  F
2 isismty 30265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
32biimp3a 1327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
54simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
6 f1of 5802 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X --> Y )
8 frn 5723 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  ran  F  C_  Y )
101, 9syl5ss 3497 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) 
C_  Y )
1110sseld 3485 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  ->  x  e.  Y
) )
12 simpl2 999 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
13 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 6010 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
157, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  R  e.  RR* )
17 blssm 20787 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1918sseld 3485 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  N
) R )  ->  x  e.  Y )
)
20 simpl1 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
22 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  RR* )
23 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  P  e.  X )
24 f1ocnv 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
25 f1of 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
265, 24, 253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  `' F : Y --> X )
27 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
2826, 27sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
29 elbl2 20759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  M ) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
3021, 22, 23, 28, 29syl22anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
314simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )
32 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
x M y )  =  ( P M y ) )
33 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3433oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  y
) ) )
3532, 34eqeq12d 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) ) ) )
36 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( P M y )  =  ( P M ( `' F `  x ) ) )
37 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
3837oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( F `  P
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
3936, 38eqeq12d 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4035, 39rspc2v 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4140impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4213, 31, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4428, 43syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4544breq1d 4443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R  <->  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
4630, 45bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
47 f1of1 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
485, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-> Y
)
50 blssm 20787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5120, 13, 16, 50syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
53 f1elima 6152 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )  -> 
( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5449, 28, 52, 53syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5512adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
5615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
57 f1ocnvfv2 6164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
585, 57sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
59 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
6058, 59eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  Y )
61 elbl2 20759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  Y ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6255, 22, 56, 60, 61syl22anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6346, 54, 623bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6458eleq1d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) ) )
6558eleq1d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6663, 64, 653bitr3d 283 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6766ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  Y  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) ) )
6811, 19, 67pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6968eqrdv 2438 1  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    C_ wss 3458   class class class wbr 4433   `'ccnv 4984   ran crn 4986   "cima 4988   -->wf 5570   -1-1->wf1 5571   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RR*cxr 9625    < clt 9626   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273    Ismty cismty 30262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7420  df-xr 9630  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-bl 18282  df-ismty 30263
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  30268  ismtybndlem  30270
  Copyright terms: Public domain W3C validator