Theorem ismtyhmeo 15951

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology.

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	|- J = (Open` M)
ismtyhmeo.2	|- K = (Open` N)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	|- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) -> F e. (J Homeo K)))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- dom dom M = dom dom M
2		ismtyhmeo.1	. . . . . . . . . 10 |- J = (Open` M)
3	1, 2	uniopn2 9138	. . . . . . . . 9 |- (M e. Met -> U.J = dom dom M)
4	3	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- (M e. Met -> dom dom M = U.J)
5	4	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> dom dom M = U.J)
6		f1oeq2 4631	. . . . . . 7 |- (dom dom M = U.J -> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N <-> F:U.J-1-1-onto->dom dom N))
7	5, 6	syl 12	. . . . . 6 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N <-> F:U.J-1-1-onto->dom dom N))
8		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- dom dom N = dom dom N
9		ismtyhmeo.2	. . . . . . . . . 10 |- K = (Open` N)
10	8, 9	uniopn2 9138	. . . . . . . . 9 |- (N e. Met -> U.K = dom dom N)
11	10	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- (N e. Met -> dom dom N = U.K)
12	11	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> dom dom N = U.K)
13		f1oeq3 4632	. . . . . . 7 |- (dom dom N = U.K -> (F:U.J-1-1-onto->dom dom N <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
14	12, 13	syl 12	. . . . . 6 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F:U.J-1-1-onto->dom dom N <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
15	7, 14	bitrd 587	. . . . 5 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
16	15	biimpd 170	. . . 4 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> F:U.J-1-1-onto->U.K))
17	16	adantrd 427	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> F:U.J-1-1-onto->U.K))
18	2, 9	ismtyhmeolem 15950	. . . 4 |- (((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)))) -> A.u e. J (F"u) e. K)
19	18	ex 402	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> A.u e. J (F"u) e. K))
20	9, 2	ismtyhmeolem 15950	. . . . . 6 |- (((N e. Met /\ M e. Met) /\ (`'F:dom dom N-1-1-onto->dom dom M /\ A.s e. dom dom NA.t e. dom dom N(sNt) = ((`'F` s)M(`'F` t)))) -> A.u e. K (`'F"u) e. J)
21		f1ocnv 4651	. . . . . . . 8 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> `'F:dom dom N-1-1-onto->dom dom M)
22	21	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> `'F:dom dom N-1-1-onto->dom dom M)
23		f1ocnvdm 4860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ s e. dom dom N) -> (`'F` s) e. dom dom M)
24	23	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> (s e. dom dom N -> (`'F` s) e. dom dom M))
25		f1ocnvdm 4860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ t e. dom dom N) -> (`'F` t) e. dom dom M)
26	25	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> (t e. dom dom N -> (`'F` t) e. dom dom M))
27	24, 26	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> ((s e. dom dom N /\ t e. dom dom N) -> ((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M)))
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> ((s e. dom dom N /\ t e. dom dom N) -> ((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M)))
29	28	imdistani 491	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ ((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M)))
30		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (`'F` s) -> (xMy) = ((`'F` s)My))
31		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (`'F` s) -> (F` x) = (F` (`'F` s)))
32	31	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (`'F` s) -> ((F` x)N(F` y)) = ((F` (`'F` s))N(F` y)))
33	30, 32	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'F` s) -> ((xMy) = ((F` x)N(F` y)) <-> ((`'F` s)My) = ((F` (`'F` s))N(F` y))))
34		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (`'F` t) -> ((`'F` s)My) = ((`'F` s)M(`'F` t)))
35		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (`'F` t) -> (F` y) = (F` (`'F` t)))
36	35	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (`'F` t) -> ((F` (`'F` s))N(F` y)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))))
37	34, 36	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (`'F` t) -> (((`'F` s)My) = ((F` (`'F` s))N(F` y)) <-> ((`'F` s)M(`'F` t)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t)))))
38	33, 37	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M) -> (A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)) -> ((`'F` s)M(`'F` t)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t)))))
39	38	impcom 378	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)) /\ ((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M)) -> ((`'F` s)M(`'F` t)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))))
40	39	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ ((`'F` s) e. dom dom M /\ (`'F` t) e. dom dom M)) -> ((`'F` s)M(`'F` t)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))))
41	29, 40	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> ((`'F` s)M(`'F` t)) = ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))))
42		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ s e. dom dom N) -> (F` (`'F` s)) = s)
43	42	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> (F` (`'F` s)) = s)
44		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ t e. dom dom N) -> (F` (`'F` t)) = t)
45	44	adantrl 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> (F` (`'F` t)) = t)
46	43, 45	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))) = (sNt))
47	46	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> ((F` (`'F` s))N(F` (`'F` t))) = (sNt))
48	41, 47	eqtr2d 1926	. . . . . . . . 9 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) /\ (s e. dom dom N /\ t e. dom dom N)) -> (sNt) = ((`'F` s)M(`'F` t)))
49	48	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> ((s e. dom dom N /\ t e. dom dom N) -> (sNt) = ((`'F` s)M(`'F` t))))
50	49	r19.21aivv 2183	. . . . . . 7 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> A.s e. dom dom NA.t e. dom dom N(sNt) = ((`'F` s)M(`'F` t)))
51	22, 50	jca 310	. . . . . 6 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> (`'F:dom dom N-1-1-onto->dom dom M /\ A.s e. dom dom NA.t e. dom dom N(sNt) = ((`'F` s)M(`'F` t))))
52	20, 51	sylan2 500	. . . . 5 |- (((N e. Met /\ M e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)))) -> A.u e. K (`'F"u) e. J)
53	52	ancom1s 548	. . . 4 |- (((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)))) -> A.u e. K (`'F"u) e. J)
54	53	ex 402	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> A.u e. K (`'F"u) e. J))
55	17, 19, 54	3jcad 1051	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.u e. J (F"u) e. K /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
56	1, 8	isismty 15948	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) <-> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M(xMy) = ((F` x)N(F` y)))))
57		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
58		eqid 1884	. . . 4 |- U.K = U.K
59	57, 58	ishomeo2 15896	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.u e. J (F"u) e. K /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
60	2	opntop 9147	. . 3 |- (M e. Met -> J e. Top)
61	9	opntop 9147	. . 3 |- (N e. Met -> K e. Top)
62	59, 60, 61	syl2an 503	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.u e. J (F"u) e. K /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
63	55, 56, 62	3imtr4d 602	1 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) -> F e. (J Homeo K)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  "cima 3989  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857  Metcme 9066  Opencopn 9069   Homeo chomeosm 10230  Ismtycismty 15945

This theorem is referenced by:  reheibor 16025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-homeo 10232  df-ismty 15946

Copyright terms: Public domain