Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeo Structured version   Unicode version

Theorem ismtyhmeo 31885
Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
ismtyhmeo.2  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeo  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  C_  ( J Homeo K ) )

Proof of Theorem ismtyhmeo
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeo.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
2 ismtyhmeo.2 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
3 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y
) )
5 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  f  e.  ( M  Ismty  N ) )
61, 2, 3, 4, 5ismtyhmeolem 31884 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
7 ismtycnv 31882 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( M 
Ismty  N )  ->  `' f  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
87imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' f  e.  ( N  Ismty  M ) )
92, 1, 4, 3, 8ismtyhmeolem 31884 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' f  e.  ( K  Cn  J
) )
10 ishmeo 20711 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  <->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' f  e.  ( K  Cn  J
) ) )
116, 9, 10sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  f  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
1211ex 435 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( M 
Ismty  N )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) ) )
1312ssrdv 3467 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  C_  ( J Homeo K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    C_ wss 3433   `'ccnv 4844   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   *Metcxmt 18896   MetOpencmopn 18901    Cn ccn 20177   Homeochmeo 20705    Ismty cismty 31878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-topgen 15302  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-cn 20180  df-hmeo 20707  df-ismty 31879
This theorem is referenced by:  reheibor  31919
  Copyright terms: Public domain W3C validator