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Theorem ismtycnv 28706
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5658 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1ocnvdm 5994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( `' F `  u )  e.  X
)
43ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( u  e.  Y  ->  ( `' F `  u )  e.  X ) )
5 f1ocnvdm 5994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( `' F `  v )  e.  X
)
65ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( v  e.  Y  ->  ( `' F `  v )  e.  X ) )
74, 6anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
98imdistani 690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) ) )
10 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
x M y )  =  ( ( `' F `  u ) M y ) )
11 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( `' F `  u ) ) )
1211oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  y
) ) )
1310, 12eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) ) ) )
14 oveq2 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( `' F `  u ) M y )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
15 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  v ) ) )
1615oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  <-> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1813, 17rspc2v 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1918impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
2019adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
22 f1ocnvfv2 5989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
2322adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
24 f1ocnvfv2 5989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
2524adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  v )
)  =  v )
2623, 25oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2726adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2821, 27eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
2928ralrimivva 2813 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
302, 29jca 532 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) )
3130a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
32 isismty 28705 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
33 isismty 28705 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  M  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3433ancoms 453 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3531, 32, 343imtr4d 268 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   `'ccnv 4844   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   *Metcxmt 17806    Ismty cismty 28702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-xr 9427  df-xmet 17815  df-ismty 28703
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  28708  ismtyhmeo  28709  ismtybnd  28711
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