Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtycnv Structured version   Unicode version

Theorem ismtycnv 30216
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5834 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1ocnvdm 6187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( `' F `  u )  e.  X
)
43ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( u  e.  Y  ->  ( `' F `  u )  e.  X ) )
5 f1ocnvdm 6187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( `' F `  v )  e.  X
)
65ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( v  e.  Y  ->  ( `' F `  v )  e.  X ) )
74, 6anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
98imdistani 690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) ) )
10 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
x M y )  =  ( ( `' F `  u ) M y ) )
11 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( `' F `  u ) ) )
1211oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  y
) ) )
1310, 12eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) ) ) )
14 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( `' F `  u ) M y )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  v ) ) )
1615oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  <-> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1813, 17rspc2v 3228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1918impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
2019adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
22 f1ocnvfv2 6182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
2322adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
24 f1ocnvfv2 6182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
2524adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  v )
)  =  v )
2623, 25oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2726adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2821, 27eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
2928ralrimivva 2888 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
302, 29jca 532 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) )
3130a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
32 isismty 30215 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
33 isismty 30215 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  M  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3433ancoms 453 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3531, 32, 343imtr4d 268 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   `'ccnv 5004   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   *Metcxmt 18273    Ismty cismty 30212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-xr 9644  df-xmet 18282  df-ismty 30213
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  30218  ismtyhmeo  30219  ismtybnd  30221
  Copyright terms: Public domain W3C validator