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Theorem ismtycnv 26401
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5646 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1ocnvdm 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( `' F `  u )  e.  X
)
43ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( u  e.  Y  ->  ( `' F `  u )  e.  X ) )
5 f1ocnvdm 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( `' F `  v )  e.  X
)
65ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( v  e.  Y  ->  ( `' F `  v )  e.  X ) )
74, 6anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
98imdistani 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) ) )
10 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
x M y )  =  ( ( `' F `  u ) M y ) )
11 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( `' F `  u ) ) )
1211oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  y
) ) )
1310, 12eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) ) ) )
14 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( `' F `  u ) M y )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
15 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  v ) ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  <-> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1813, 17rspc2v 3018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1918impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
2019adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
22 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
2322adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
24 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
2524adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  v )
)  =  v )
2623, 25oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2726adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2821, 27eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
2928ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
302, 29jca 519 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) )
3130a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
32 isismty 26400 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
33 isismty 26400 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  M  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3433ancoms 440 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3531, 32, 343imtr4d 260 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   `'ccnv 4836   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   * Metcxmt 16641    Ismty cismty 26397
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  26403  ismtyhmeo  26404  ismtybnd  26406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-xr 9080  df-xmet 16650  df-ismty 26398
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