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Theorem ismtybndlem 28846
Description: Lemma for ismtybnd 28847. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables w r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 28841 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) ) )
21biimp3a 1319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) )
32simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5754 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5742 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> `' F : Y --> X )
76ffvelrnda 5945 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( `' F ` y ) e. X )
8 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) )
98eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
109rexbidv 2855 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
1110rspcv 3168 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. X -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
127, 11syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
13 imaeq2 5266 . . . . . . . . . . 11 |- ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
14 f1ofo 5749 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
15 foima 5726 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
163, 14, 153syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F " X ) = Y )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " X ) = Y )
18 rpxr 11102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
207, 19anim12dan 833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) )
21 ismtyima 28843 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
2220, 21syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Y /\ r e. RR+ ) -> y e. Y )
24 f1ocnvfv2 6086 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
253, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2625oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2722, 26eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2817, 27eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) <-> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
2913, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3029anassrs 648 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3130reximdva 2927 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3212, 31syld 44 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3332ralrimdva 2905 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
34 simp2 989 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
3533, 34jctild 543 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
36353expib 1191 . . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3736com12 31 . . 3 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( *Met ` X ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3837impd 431 . 2 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
39 isbndx 28822 . 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
40 isbndx 28822 . 2 |- ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 1 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   `'ccnv 4940   "cima 4944   -->wf 5515   -onto->wfo 5517   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RR*cxr 9521   RR+crp 11095   *Metcxmt 17919   ballcbl 17921   Bndcbnd 28807   Ismty cismty 28838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-er 7204  df-ec 7206  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-2 10484  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-bnd 28819  df-ismty 28839
This theorem is referenced by:  ismtybnd  28847
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