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Theorem ismtybndlem 28658
Description: Lemma for ismtybnd 28659. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 28653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) ) )
21biimp3a 1318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) )
32simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' F : Y --> X )
76ffvelrnda 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
8 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )
98eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
109rexbidv 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1110rspcv 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
127, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
13 imaeq2 5160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  -> 
( F " X
)  =  ( F
" ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
14 f1ofo 5643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
15 foima 5620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
163, 14, 153syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " X
)  =  Y )
18 rpxr 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e. 
RR* )
207, 19anim12dan 833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* )
)
21 ismtyima 28655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
2220, 21syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  Y )
24 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
253, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2625oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r )  =  ( y ( ball `  N ) r ) )
2722, 26eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( y ( ball `  N
) r ) )
2817, 27eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F " X )  =  ( F " ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) )  <-> 
Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
2913, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3029anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  ->  Y  =  ( y
( ball `  N )
r ) ) )
3130reximdva 2823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3212, 31syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3332ralrimdva 2801 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
34 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y
) )
3533, 34jctild 543 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) )
36353expib 1190 . . . 4  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) ) )
3736com12 31 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) ) )
3837impd 431 . 2  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) )
39 isbndx 28634 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
40 isbndx 28634 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 1  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   `'ccnv 4834   "cima 4838   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RR*cxr 9409   RR+crp 10983   *Metcxmt 17776   ballcbl 17778   Bndcbnd 28619    Ismty cismty 28650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-2 10372  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-bnd 28631  df-ismty 28651
This theorem is referenced by:  ismtybnd  28659
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