Theorem ismtybndlem 26405

Description: Lemma for ismtybnd 26406. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	|- ( ( N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybndlem

Dummy variables w r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 26400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) ) )
2	1	biimp3a 1283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) )
3	2	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5633	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> `' F : Y --> X )
7	6	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( `' F ` y ) e. X )
8		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) )
9	8	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
10	9	rexbidv 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
11	10	rspcv 3008	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. X -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
13		imaeq2 5158	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
14		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
15		foima 5617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
16	3, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F " X ) = Y )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " X ) = Y )
18		rpxr 10575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
19	18	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
20	7, 19	anim12dan 811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) )
21		ismtyima 26402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
22	20, 21	syldan 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
23		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Y /\ r e. RR+ ) -> y e. Y )
24		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	3, 23, 24	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
26	25	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
27	22, 26	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
28	17, 27	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) <-> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
29	13, 28	syl5ib 211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
30	29	anassrs 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
31	30	reximdva 2778	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
32	12, 31	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
33	32	ralrimdva 2756	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
34		simp2 958	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> N e. ( * Met ` Y ) )
35	33, 34	jctild 528	. . . . 5 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( * Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
36	35	3expib 1156	. . . 4 |- ( M e. ( * Met ` X ) -> ( ( N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( * Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
37	36	com12 29	. . 3 |- ( ( N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( * Met ` X ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( * Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
38	37	imp3a 421	. 2 |- ( ( N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> ( N e. ( * Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
39		isbndx 26381	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( * Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
40		isbndx 26381	. 2 |- ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> ( N e. ( * Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
41	38, 39, 40	3imtr4g 262	1 |- ( ( N e. ( * Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RR*cxr 9075   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   Bndcbnd 26366   Ismty cismty 26397

This theorem is referenced by:  ismtybnd  26406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-bnd 26378  df-ismty 26398