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Theorem ismtybndlem 30277
Description: Lemma for ismtybnd 30278. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables w r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 30272 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) ) )
21biimp3a 1329 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) )
32simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5818 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5806 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> `' F : Y --> X )
76ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( `' F ` y ) e. X )
8 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) )
98eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
109rexbidv 2954 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
1110rspcv 3192 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. X -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
127, 11syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
13 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . 11 |- ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
14 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
15 foima 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
163, 14, 153syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F " X ) = Y )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " X ) = Y )
18 rpxr 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
207, 19anim12dan 837 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) )
21 ismtyima 30274 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
2220, 21syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Y /\ r e. RR+ ) -> y e. Y )
24 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
253, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2625oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2722, 26eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2817, 27eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) <-> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
2913, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3029anassrs 648 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3130reximdva 2918 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3212, 31syld 44 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3332ralrimdva 2861 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
34 simp2 998 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
3533, 34jctild 543 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
36353expib 1200 . . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3736com12 31 . . 3 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( *Met ` X ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3837impd 431 . 2 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
39 isbndx 30253 . 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
40 isbndx 30253 . 2 |- ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 1 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RR*cxr 9630   RR+crp 11229   *Metcxmt 18277   ballcbl 18279   Bndcbnd 30238   Ismty cismty 30269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-ec 7315  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-2 10600  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-bnd 30250  df-ismty 30270
This theorem is referenced by:  ismtybnd  30278
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