Theorem ismtybndlem 15952

Description: Lemma for ismtybnd 15953.

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	|- ((M e. Met /\ N e. Met /\ F e. (MIsmtyN)) -> (M e. Bnd -> N e. Bnd))

Proof of Theorem ismtybndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- dom dom M = dom dom M
2		eqid 1884	. . . . 5 |- dom dom N = dom dom N
3	1, 2	isismty 15948	. . . 4 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) <-> (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))))
4		f1ocnvdm 4860	. . . . . . . . . 10 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ y e. dom dom N) -> (`'F` y) e. dom dom M)
5	4	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ y e. dom dom N) -> (`'F` y) e. dom dom M)
6	5	adantll 428	. . . . . . . 8 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) -> (`'F` y) e. dom dom M)
7	6	adantlr 429	. . . . . . 7 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)) /\ y e. dom dom N) -> (`'F` y) e. dom dom M)
8	4	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> (y e. dom dom N -> (`'F` y) e. dom dom M))
9		f1ocnvdm 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. dom dom M)
10	9	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> (z e. dom dom N -> (`'F` z) e. dom dom M))
11	8, 10	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N -> ((y e. dom dom N /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M)))
12	11	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) -> ((y e. dom dom N /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M)))
13	12	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ (y e. dom dom N /\ z e. dom dom N)) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ ((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M)))
14		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (u = (`'F` y) -> (uMv) = ((`'F` y)Mv))
15		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (u = (`'F` y) -> (F` u) = (F` (`'F` y)))
16	15	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (u = (`'F` y) -> ((F` u)N(F` v)) = ((F` (`'F` y))N(F` v)))
17	14, 16	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (u = (`'F` y) -> ((uMv) = ((F` u)N(F` v)) <-> ((`'F` y)Mv) = ((F` (`'F` y))N(F` v))))
18		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (v = (`'F` z) -> ((`'F` y)Mv) = ((`'F` y)M(`'F` z)))
19		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (v = (`'F` z) -> (F` v) = (F` (`'F` z)))
20	19	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (v = (`'F` z) -> ((F` (`'F` y))N(F` v)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
21	18, 20	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (v = (`'F` z) -> (((`'F` y)Mv) = ((F` (`'F` y))N(F` v)) <-> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z)))))
22	17, 21	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M) -> (A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z)))))
23	22	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)) /\ ((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M)) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
24	23	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ ((`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M)) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
25	13, 24	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ (y e. dom dom N /\ z e. dom dom N)) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
26	25	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ z e. dom dom N)) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
27	26	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
28	27	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
29	28	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) = ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))))
30		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ y e. dom dom N) -> (F` (`'F` y)) = y)
31	30	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (F` (`'F` y)) = y)
32	31	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (F` (`'F` y)) = y)
33	32	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` y)) = y)
34		f1ocnvfv2 4855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` z)) = z)
35	34	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` z)) = z)
36	35	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` z)) = z)
37	36	adantlll 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` z)) = z)
38	37	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (F` (`'F` z)) = z)
39	33, 38	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> ((F` (`'F` y))N(F` (`'F` z))) = (yNz))
40	29, 39	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (yNz) = ((`'F` y)M(`'F` z)))
41		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r) -> ((`'F` z) e. dom dom M <-> (`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r)))
42	9	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. dom dom M)
43	42	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. dom dom M)
44	43	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. dom dom M)
45	41, 44	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) -> (dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r) -> (`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r)))
46	45	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ z e. dom dom N) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) -> (`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r))
47	46	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r))
48		simplll 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> M e. Met)
49	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> M e. Met)
50	4	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (`'F` y) e. dom dom M)
51	50	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (`'F` y) e. dom dom M)
52	51	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` y) e. dom dom M)
53	44	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (`'F` z) e. dom dom M)
54		rpregt0 7242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (r e. RR+ -> (r e. RR /\ 0 < r))
55	54	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (r e. RR /\ 0 < r))
56	55	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (r e. RR /\ 0 < r))
57	1	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((M e. Met /\ (`'F` y) e. dom dom M /\ (`'F` z) e. dom dom M) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> ((`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r) <-> ((`'F` y)M(`'F` z)) < r))
58	49, 52, 53, 56, 57	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` z) e. ((`'F` y)( ball ` M)r) <-> ((`'F` y)M(`'F` z)) < r))
59	47, 58	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> ((`'F` y)M(`'F` z)) < r)
60	40, 59	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (yNz) < r)
61		simpllr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> N e. Met)
62	61	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> N e. Met)
63		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> y e. dom dom N)
64	63	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> y e. dom dom N)
65		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> z e. dom dom N)
66	2	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((N e. Met /\ y e. dom dom N /\ z e. dom dom N) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (y( ball ` N)r) <-> (yNz) < r))
67	62, 64, 65, 56, 66	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> (z e. (y( ball ` N)r) <-> (yNz) < r))
68	60, 67	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) /\ z e. dom dom N) -> z e. (y( ball ` N)r))
69	68	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) -> (z e. dom dom N -> z e. (y( ball ` N)r)))
70	69	ssrdv 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) -> dom dom N C_ (y( ball ` N)r))
71	2	blssm 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((N e. Met /\ y e. dom dom N) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
72		elrp 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r e. RR+ <-> (r e. RR /\ 0 < r))
73	71, 72	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((N e. Met /\ y e. dom dom N) /\ r e. RR+) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
74	73	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. Met /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
75	74	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ N e. Met) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
76	75	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
77	76	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) -> (y( ball ` N)r) C_ dom dom N)
78	70, 77	eqssd 2633	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) /\ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)) -> dom dom N = (y( ball ` N)r))
79	78	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ (y e. dom dom N /\ r e. RR+)) -> (dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r) -> dom dom N = (y( ball ` N)r)))
80	79	anassrs 489	. . . . . . . . . . 11 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) /\ r e. RR+) -> (dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r) -> dom dom N = (y( ball ` N)r)))
81	80	reximdva 2203	. . . . . . . . . 10 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) -> (E.r e. RR+ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r) -> E.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
82		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'F` y) -> (x( ball ` M)r) = ((`'F` y)( ball ` M)r))
83	82	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'F` y) -> (dom dom M = (x( ball ` M)r) <-> dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)))
84	83	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (`'F` y) -> (E.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) <-> E.r e. RR+ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r)))
85	84	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) /\ (`'F` y) e. dom dom M) -> E.r e. RR+ dom dom M = ((`'F` y)( ball ` M)r))
86	81, 85	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) -> ((A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) /\ (`'F` y) e. dom dom M) -> E.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
87	86	expdimp 406	. . . . . . . 8 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ y e. dom dom N) /\ A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)) -> ((`'F` y) e. dom dom M -> E.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
88	87	an1rs 547	. . . . . . 7 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)) /\ y e. dom dom N) -> ((`'F` y) e. dom dom M -> E.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
89	7, 88	mpd 29	. . . . . 6 |- (((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)) /\ y e. dom dom N) -> E.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r))
90	89	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- ((((M e. Met /\ N e. Met) /\ (F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v)))) /\ A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)) -> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r))
91	90	exp31 407	. . . 4 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:dom dom M-1-1-onto->dom dom N /\ A.u e. dom dom MA.v e. dom dom M(uMv) = ((F` u)N(F` v))) -> (A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) -> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r))))
92	3, 91	sylbid 220	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) -> (A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) -> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r))))
93	92	3impia 1064	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met /\ F e. (MIsmtyN)) -> (A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r) -> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
94	1	isbnd2 15940	. . 3 |- (M e. Met -> (M e. Bnd <-> A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)))
95	94	3ad2ant1 897	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met /\ F e. (MIsmtyN)) -> (M e. Bnd <-> A.x e. dom dom ME.r e. RR+ dom dom M = (x( ball ` M)r)))
96	2	isbnd2 15940	. . 3 |- (N e. Met -> (N e. Bnd <-> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
97	96	3ad2ant2 898	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met /\ F e. (MIsmtyN)) -> (N e. Bnd <-> A.y e. dom dom NE.r e. RR+ dom dom N = (y( ball ` N)r)))
98	93, 95, 97	3imtr4d 602	1 |- ((M e. Met /\ N e. Met /\ F e. (MIsmtyN)) -> (M e. Bnd -> N e. Bnd))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  RR+crp 6453   < clt 6653  Metcme 9066   ball cbl 9068  Bndcbnd 15931  Ismtycismty 15945

This theorem is referenced by:  ismtybnd 15953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-rp 7232  df-bl 9072  df-bnd 15938  df-ismty 15946

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