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Theorem ismtybndlem 32138
Description: Lemma for ismtybnd 32139. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 32133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) ) )
21biimp3a 1369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) )
32simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' F : Y --> X )
76ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
8 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )
98eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
109rexbidv 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1110rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
127, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
13 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  -> 
( F " X
)  =  ( F
" ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
14 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
15 foima 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " X
)  =  Y )
18 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1918adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e. 
RR* )
207, 19anim12dan 848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* )
)
21 ismtyima 32135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
2220, 21syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
23 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  Y )
24 f1ocnvfv2 6176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
253, 23, 24syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2625oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r )  =  ( y ( ball `  N ) r ) )
2722, 26eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( y ( ball `  N
) r ) )
2817, 27eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F " X )  =  ( F " ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) )  <-> 
Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
2913, 28syl5ib 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3029anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  ->  Y  =  ( y
( ball `  N )
r ) ) )
3130reximdva 2862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3212, 31syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3332ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
34 simp2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y
) )
3533, 34jctild 546 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) )
36353expib 1211 . . . 4  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) ) )
3736com12 32 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) ) )
3837impd 433 . 2  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) ) )
39 isbndx 32114 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
40 isbndx 32114 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 274 1  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   `'ccnv 4833   "cima 4837   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RR*cxr 9674   RR+crp 11302   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957   Bndcbnd 32099    Ismty cismty 32130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-ec 7365  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-bnd 32111  df-ismty 32131
This theorem is referenced by:  ismtybnd  32139
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