Theorem ismsg 9077

Description: Express the predicate "<.X, D>. is a metric space" with underlying set X and distance function D.

Assertion

Ref	Expression
ismsg	|- (D e. A -> (<.X, D>. e. MetSp <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))

Distinct variable groups:   x,y,z,X   x,D,y,z

Proof of Theorem ismsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3339	. . . . 5 |- (XMetSpD <-> <.X, D>. e. MetSp)
2		msrel 9074	. . . . . 6 |- Rel MetSp
3	2	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (XMetSpD -> X e. _V)
4	1, 3	sylbir 218	. . . 4 |- (<.X, D>. e. MetSp -> X e. _V)
5	4	anim1i 361	. . 3 |- ((<.X, D>. e. MetSp /\ D e. A) -> (X e. _V /\ D e. A))
6	5	ancoms 484	. 2 |- ((D e. A /\ <.X, D>. e. MetSp) -> (X e. _V /\ D e. A))
7		dmfex 4598	. . . . 5 |- ((D e. A /\ D:(X X. X)-->RR) -> (X X. X) e. _V)
8		xpexr 4352	. . . . . 6 |- ((X X. X) e. _V -> (X e. _V \/ X e. _V))
9		oridm 262	. . . . . 6 |- ((X e. _V \/ X e. _V) <-> X e. _V)
10	8, 9	sylib 215	. . . . 5 |- ((X X. X) e. _V -> X e. _V)
11	7, 10	syl 12	. . . 4 |- ((D e. A /\ D:(X X. X)-->RR) -> X e. _V)
12		simpl 346	. . . 4 |- ((D e. A /\ D:(X X. X)-->RR) -> D e. A)
13	11, 12	jca 310	. . 3 |- ((D e. A /\ D:(X X. X)-->RR) -> (X e. _V /\ D e. A))
14	13	adantrr 431	. 2 |- ((D e. A /\ (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))) -> (X e. _V /\ D e. A))
15		xpeq1 4016	. . . . . . 7 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. w))
16		xpeq2 4017	. . . . . . 7 |- (w = X -> (X X. w) = (X X. X))
17	15, 16	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. X))
18	17	feq2d 4557	. . . . 5 |- (w = X -> (v:(w X. w)-->RR <-> v:(X X. X)-->RR))
19		raleq 2266	. . . . . . . 8 |- (w = X -> (A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))
20	19	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (w = X -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
21	20	raleqbi1dv 2271	. . . . . 6 |- (w = X -> (A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
22	21	raleqbi1dv 2271	. . . . 5 |- (w = X -> (A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
23	18, 22	anbi12d 690	. . . 4 |- (w = X -> ((v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))))
24		feq1 4551	. . . . 5 |- (v = D -> (v:(X X. X)-->RR <-> D:(X X. X)-->RR))
25		opreq 4888	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> (xvy) = (xDy))
26	25	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) = 0 <-> (xDy) = 0))
27	26	bibi1d 681	. . . . . . 7 |- (v = D -> (((xvy) = 0 <-> x = y) <-> ((xDy) = 0 <-> x = y)))
28		opreq 4888	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvx) = (zDx))
29		opreq 4888	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvy) = (zDy))
30	28, 29	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> ((zvx) + (zvy)) = ((zDx) + (zDy)))
31	25, 30	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
32	31	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (v = D -> (A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
33	27, 32	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (v = D -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
34	33	2ralbidv 2140	. . . . 5 |- (v = D -> (A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
35	24, 34	anbi12d 690	. . . 4 |- (v = D -> ((v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
36	23, 35	opelopabg 3567	. . 3 |- ((X e. _V /\ D e. A) -> (<.X, D>. e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))} <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
37		dfms2 9076	. . . 4 |- MetSp = {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))}
38	37	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.X, D>. e. MetSp <-> <.X, D>. e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))})
39	36, 38	syl5bb 591	. 2 |- ((X e. _V /\ D e. A) -> (<.X, D>. e. MetSp <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
40	6, 14, 39	pm5.21nd 744	1 |- (D e. A -> (<.X, D>. e. MetSp <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  -->wf 3994  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  MetSpcmt 9067

This theorem is referenced by:  ismsi 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-met 9070  df-ms 9071

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